Integralaufgabe mit cos und Wurzel

Question

Aufgabe:

Ich knobel gerade an einer relativ schweren Aufgabe.

\( \int\limits_{-2}^{2} \) (x³ cos (\( \frac{x}{2} \)) +\( \frac{1}{2} \)) \( \sqrt{4-x^2} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass das Ergebnis π ist (3.14159).

Ich scheiter schon an der Stammfunktion in der Wurzel (das Problem ist die Summe und das x². Keine Ahnung wie ich das lösen soll. Vermutlich Substitution mit sinh(x).

Laut WolframAlpha kommt da \( \frac{1}{2} \) \( \sqrt{4-x^2} \)  x + 2sin^-1   \( \frac{x}{2} \) + c raus. Ich habe keine Ahnung wie man darauf kommt.

Und für den ersten Teil soll 2(x² - 24) x sin(\( \frac{x}{2} \) + 12 (x² - 8) cos (\( \frac{x}{2} \)) \( \frac{x}{2} \) + c rauskommen.

Laut Integralrechner ist die Stammfunktion:

\( \frac{x\sqrt{4-x^2}}{4} \) + arcsin(\( \frac{x}{2} \)) + C

Answer 1

Stammfunktion brauchst du nicht.

x^3 cos (\( \frac{x}{2} \)) ist ursprungssysmmetrisch, damit haben dafür die Integrale von -2 bis 0 und von 0 bis 2 gleiche Beträge, aber entgegengesetzte Vorzeichen und heben sich zu 0 auf.

 \( \sqrt{4-x^2} \) beschreibt einen Halbkreis.

Comments

Das damit kommt an dieser Stelle zu früh.

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Richtig. Zu dem Produkt gehört auch noch der Wurzelterm. Die grundsätzliche Aussage zur Ursprungssymmetrie behält aber ihre Gültigkeit.

Answer 2

Aloha :)

Der Trick liegt hier bei der Beachtung des Integrationsbereiches \([-2;2]\), der symmetrisch um den Urpsrung herum liegt. Du kannst nämlich den Integranden$$f(x)=\left(x^3\cos\frac x2+\frac12\right)\sqrt{4-x^2}$$in einen Anteil \(f_u(x)\) zerlegen, der punktsymmetrisch zum Urpsrung ist und dessen Anteil am Integral verschwindet, und in einen Anteil \(f_g(x)\), der achensymmetrsich zur \(y\)-Achse ist und alleine zum Integral beiträgt:$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{=f_g(x)}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{=f_u(x)}$$Damit erhalten wir den relevanten Anteil:$$f_g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$$$\phantom{f_g(x)}=\frac{\left(x^3\cos\frac x2+\frac12\right)\sqrt{4-x^2}+\left((-x)^3\cos\left(-\frac x2\right)+\frac12\right)\sqrt{4-(-x)^2}}{2}$$$$\phantom{f_g(x)}=\frac{\left(x^3\cos\frac x2+\frac12\right)\sqrt{4-x^2}+\left(-x^3\cos\frac x2+\frac12\right)\sqrt{4-x^2}}{2}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$$

Damit ist das Integral nun:$$I=\int\limits_{-2}^2f(x)\,dx=\int\limits_{-2}^2f_g(x)\,dx=2\int\limits_0^2f_g(x)\,dx=\int\limits_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx$$Das Integral ist die Fläche eines Viertelkreises mit Radius \(2\), also:$$I=\frac14\cdot\pi\cdot4^2=\pi$$