Zerlege die Zahl 12 so in zwei Summanden, dass ihr Produkt möglichst gross wird?

Question

Hallo liebe Leute

Zerlegen Sie die Zahl 12 so in zwei Summanden, dass
a) ihr Produkt möglichst groß wird

b) die Summe der Quadrate möglichst klein wird

Wäre super nett, wenn mir da jemand aus der Patsche hilft.

Comments

Kannst du denn schon ableiten? Das sind Extremalwertaufgaben.

Answer 1

Hi

a)

x

y = 12-x

Mit der Eigenschaft: x+y = x+(12-x) = 12

Ihr Produkt soll möglichst groß werden:

P = x*y

= x*(12-x)

= -x^2+12x

Erste Ableitung:

f'(x) = -2x+12

Bedingung:

f'(x) = -2x+12 = 0

x = 6

(Das müsste man noch mit der zweiten Ableitung kontrollieren)

Die Summanden sind gleich: x = 6 und y = 6


b)

x

y = 12-x

Eigenschaft: x+y = x+(12-x) = 12

Summe der Quadrate soll minimal werden:

S = x^2+y^2

= x^2+(12-x)^2

= 2x^2-24x+144


Scheitelpunkt (ist der tiefste (oder höchste) Punkt einer Parabel) bestimmen:

S = 2(x^2-12x+36) + 72

S = 2(x-6)^2 + 72

Der tiefste Punkte ist als x = 6


Die Summe der Quadrate wird also am kleinsten, wenn man sie in gleich große Summanden zerlegt.


Anmerkung:

a) Hier mit Ableitung gearbeitet

b) Hier mit Scheitelpunkt gearbeitet.

Es ist jeweils beides möglich ;)


Grüße