Seien X, Y und Z Unterräume eines Vektorraums V . Zeigen Sie: a) X + (Y ∩ Z) ⊆ (X + Y ) ∩ (X + Z).

Question

Aufgabe:

Seien X, Y und Z Unterräume eines Vektorraums V . Zeigen Sie:
a) X + (Y ∩ Z) ⊆ (X + Y ) ∩ (X + Z).
Finden Sie außerdem ein Beispiel, bei welchem die Inklusion keine Gleichheit ist.
b) (X ∩ Y ) + (X ∩ Z) ⊆ X ∩ (Y + Z).
Finden Sie außerdem ein Beispiel, bei welchem die Inklusion keine Gleichheit ist.
c) X ∩ (Y + (X ∩ Z)) = (X ∩ Y ) + (X ∩ Z).

Problem/Ansatz:

ich hätte es jetzt mit Mengenlehre probiert, allerdings bin ich mir nicht sicher, wie und ob man dies bei Vektorräumen verwenden darf. ^^

Answer 1

Hallo,

ich mache mal a):

Sei \(v \in X+(Y \cap Z)\), d.h. es existiert ein \(x \in X\) und ein \(w \in Y \cap Z\) mit \(v=x+w\). Wegen \(w \in Y\) ist \(v=x+w \in X+Y\). Wegen \(w \in Z\) ist \(v=x+w\in X+Z\). Zusammen:

$$v \in (X+Y) \cap (X+Z)$$

Die Umkehrung gilt nicht: Wenn wir im \(\mathbb{R}^2\) für X den Aufspann von e1 (Standard-Basis) nehmen, für Y den Aufspann von e2 und für Z den Aufspann von e1+e2; dann ist jeweils X+Y und X+Z der ganze Raum, also auch ihr Durchschnitt. Aber der Durchschnitt von Y und Z besteht nur aus dem Null-Element.

Gruß Mathhilf