Berechnen Sie das Integral \int _{0}^{4} 2 x^{2} d x als Grenzwert der Obersumme O_{n}

Question

Text erkannt:

Für diese Aufgabe dürfen Sie die nebenstehenden Formeln ohne Nachweis benutzen.
a) Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{0}^{4} 2 x^{2} d x \) als Grenzwert der Obersumme \( O_{n} \)
\( \begin{array}{l} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} \\ =\frac{n}{6} \cdot(n+1) \cdot(2 n+1) \end{array} \) für \( n \rightarrow \infty \).
b) Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{0}^{3} \frac{1}{3} x^{3} d x \) als Grenzwert der Obersumme \( O_{n} \) für \( n \rightarrow \infty \)
\( \begin{array}{r} 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3} \\ -\frac{n^{2}}{4} \cdot(n+1)^{2} \\ \hline \end{array} \)

Aufgabe:

A und b

Problem/Ansatz:

Keinen Ansatz, weiß nicht wie ich herangehen soll

Answer 1

Wir partitionieren das Interval \( [0,4] \) in \( n \) gleich grosse Teilintervalle,jedes also mit Länge
\( \frac{4-0}{n}=\frac{4}{n} \Longrightarrow P=\left\{0,0+\frac{4}{n}, 0+2 \cdot \frac{4}{n}, \ldots, 0+n \cdot \frac{4}{n}\right\} \)
Damit ergibt sich die Summe
\( \begin{aligned} O_{n} &=\sum \limits_{i=1}^{n} \sup _{x \in\left[x_{i}, x_{i-1}\right]} f(x)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \sup _{x \in\left[\frac{4 i}{n}, \frac{4(i-1)}{n}\right]} 2 x^{2}\left(\frac{4 i}{n}-\frac{4(i-1)}{n}\right) \\ &=\sum \limits_{i=1}^{n} 2\left(\frac{4 i}{n}\right)^{2} \frac{4}{n}=\frac{128}{n^{3}} \sum \limits_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{64}{n^{3}} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{3} \end{aligned} \)

Es ist klar zu sehen, dass der Limes gegen 128/3 strebt.

Das sollte dir die Idee geben, wie du b) lösen kannst.

Comments

Wir haben das noch nie so beantwortet. Kann ich das auch so schreiben?

On = 4/n (2 • 4^2/n) + 4/n (2 • 8^2/n) + …+ 4/n (2 • n^2/n)

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Wenn du noch in der Schule bist, dann kannst du es natürlich auch wie in deinem Kommentar aufschreiben. Später wirst du dann mathematisch formalere Notationen lernen (mit der Definition des Riemann Integrals).