Linearfaktorenzerlegung von Polynom 5 Grades

Question

Hi.

Ich habe dieses Polynom:

 

-x⁵-x⁴+4x+4

und will es in Faktoren zerlegen.

erste Nullstelle: -1, dann Polynomdivision⇒ x₂=1,4142 und x₃=-1,4142

⇒(x+1)(x-1,4142)(x-1,4142)

Wenn ich mir nun aber das Ganze bei GeoGebra anzeigen lasse und vergleiche, stimmen die Graphen nicht überein.

An was liegt das, wahrscheinlich übersehe ich einfach was, ich komme aber nicht drauf.

Gruß

Answer 1

Hi,

Deine Nullstellen sind korrekt.

x = -1

x = -√2

x = √2

 

Damit hast Du aber nur 3 Nullstellen von 5 möglichen gefunden. Obiges alleine entspricht also nicht der Linearfaktorzerlegung.

Nachdem Du die Polynomdivision mit (x+1) (der ersten Nullstelle) gemacht hast, führe sie erneut mit (x^2-2) (den beiden anderen Nullstellen (x-√2)(x+√2) = (x^2-2)) durch.

Ein weiterer "Linear"faktor ist x^2+2.

Die Zerlegung die sich machen lässt ist also:

-(x+1)(x^2-2)(x^2+2) = -(x+1)(x-√2)(x+√2)(x^2+2)

Das sieht  im Graphen dann so aus:

 

Grüße

Answer 2

Die erste Nullstelle stimmt :

dann wird das Polynom durch x+1 dividiert

beim Polynom  -1 ausklammern

-1                     *( x⁵+x⁴ -4x-4) : ( x+1) = x⁴ -4

                                         x⁵ +x⁴

0 -4x-4

-4x-4

0

x⁴ -4    = (x²-2) *(x²+2)

nun lautet das Polynom  in Faktoren zerlegt

-1 *(x+1) ( x²-2) *(x²+2)

Nullstellen x= -1         x= - √2         x= √2

Complexe Nullstellen     x= -i √2    und  x= i√2

Comments

Hallo Akelei,

in deiner Zerlegung  1 *(x+1) ( x²-2) ²*(x²+2)²   sind die Exponenten, die außerhalb der Klammern stehen, zuviel des Guten. Außerdem kann man auf den Vorfaktor 1 doch getrost verzichten !