Bestimmen Sie a und b komplexes Polynom

Question

Aufgabe:

Hey Leute:) Ich bin gerade echt bei dieser Aufgabe am verzweifeln.

Problem/Ansatz:

Wie löst man die ? Ich hab nicht mal einen Ansatz.

Text erkannt:

Für \( a, b \in \mathbb{R} \) sei das Polynom \( p \) gegeben durch
\( p(z)=5 z^{3}+a z^{2}+b z-2 . \)
Bekannt sei, dass \( \lambda=-1+3 \) i eine Nullstelle von \( p \) ist. Bestimmen Sie \( a \) und \( b \).
\( a=\square \quad b= \)

Comments

Mit \(\lambda_1=-1+3\mathrm i\) ist auch \(\lambda_2=-1-3\mathrm i\) eine Nullstelle. Nach Vieta ist \(\lambda_3=\frac1{25}\) die dritte.

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Okay jetzt wo ich die 3 Nullstellen habe. Was mache ich als Nächstes?

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Demnach müsste \(p(z)=5{\cdot}(z-\lambda_1){\cdot}(z-\lambda_2){\cdot}(z-\lambda_3)\) sein.

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Okay jetzt wo es in Linearfaktorzerlegung ist. Wie komme ich auf mein a und b ? Einfach ausmultiplizieren?

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Einfach ausmultiplizieren

Eine gute Idee.

Dann Vielfache gleicher Potenzen zusammenfassen...

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Habe jetzt für a=1/25 und für b=-2/25 kann das sein ?

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Ich habe \(p(z)=5z^3+\frac{49}5z^2+\frac{248}5z-2\) berechnet.

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Danke dir :)