Komplexes Polynom in Linearfaktoren zerlegen

Question

Ich soll z²+ z + 2 ∈ ℂ [z] in Linearfaktoren zerlegen. Ich weiß was ich tun muss, aber ich komm glaube ich nicht (?) auf das Ergebnis, wäre nett wenn mir jemand die richtige Lösung mit Lösungsweg zeigen könnte.

Ich habe: z²+ z + 2 = 0

z_1/2 = - 1/2 ± √(1/2)²-2

=  - 1/2 ± √1/4-2 Hier weiß ich nicht mehr richtig wie es weitergeht. Ich kann das umschreiben als

=  - 1/2 ± √1/4 + 2 *(-1)

=  - 1/2 ± √1/4 + 2 * i² Ich habe hier jetzt

=  - 1/2 ± 1/2 + √2 * i gemacht und als Lösung dann

z₁ = √2 * i und

z₂ = -1 + √2 * i 

und dann als Lösung z²+ z + 2 = (z - √2 * i) ( z -( -1 + √2 * i) 

 = z²+ z + 2 = (z - √2 * i) ( z + 1 - √2 * i).

Das ist sicher falsch, weil ich durch die Probe nicht auf  z²+ z + 2 komme. Wie geht es richtig? Danke schonmal, ich glaub ich bin zu blöd :/

Answer 1

Hallo green,

> Ich soll z² + z + 2 ∈ ℂ [z] in Linearfaktoren zerlegen.

z² + pz + q = 0

pq-Formel:  p = 1  ; q = 2

z_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\) 

z_1,2  =  - 1/2 ± √( 1/4 - 2)  =  - 1/2 ± √( -7/4) =   - 1/2  ±  √( 7/4 ) · √(-1)

        =  - 1/2  ±  1/2 ·√7· i   

Faktorzerlegung:

z² + z + 2  =  (z - z₁) · (z - z₂)  =  ( z + 1/2 - 1/2 ·√7 ·i ) · ( z + 1/2 + 1/2 ·√7 ·i ) 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, vielen Dank für deine Antwort ich hab aber noch ein paar Verständnisfragen:

1) Wie geht der Schritt von  - 1/2  ±  √( 7/4 ) · √(-1)  

        =  - 1/2  ±  1/2 ·√7· i  Also ich sehe, dass die Wurzel aus 7/4 das selbe ist, wie 1/2 * √7. Aber wie geht dieser Schritt?

2) Wo sehe ich das z bei  (z - z₁) · (z - z₂). Offensichtlich ist es z + 1/2 aber ich sehe nicht, wo ich das herauslesen kann. Danke vielmals. 

---

 √(-1) = i  , denn   i² = -1

( z - z₁ ) · ( z - z₂ )  = ( z - [ - 1/2  +  1/2 ·√7· i ] ) · ( z - [ - 1/2  -  1/2 ·√7· i ] )  

                        =   ( z + 1/2 - 1/2 ·√7 ·i ) · ( z + 1/2 + 1/2 ·√7 ·i )  

---

Aber natürlich. Vielen Dank für deine Zeit, ich habe es verstanden.

---

Freut mich!

Und immer wieder gern :-)