Bijektionen N nach Z zeigen

Question

(a) Zeigen Sie, dass keine Bijektion f : N → Z die Bedingung
m ≤ n ⇒ f(m) ≤ f(n) für alle m, n ∈ N
erfüllen kann.
(b) Zeigen Sie, dass keine Bijektion f : N → Z die Bedingung
f(m + n) = f(m) + f(n) fur alle m, n ∈ N
erfüllen kann
Liebe Leute, wie bitte zeigt man das ? Ich stehe leider vollständig auf dem Schlauch.
Vielen lieben Dank im voraus!

Answer 1

Zeigen Sie, dass keine Bijektion f : N → Z die Bedingung
m ≤ n ⇒ f(m) ≤ f(n) für alle m, n ∈ N
erfüllen kann.

Angenommen, eine Funktion f : N → Z erfüllt die Bedingung
m ≤ n ⇒ f(m) ≤ f(n) für alle m, n ∈ N

==>  f(0)  ≤ f(n) für alle n ∈ N.

==>   f(0) ist das Minimum der Bildmenge von f.

==>  Z ist nicht die Bildmenge von f, denn Z besitzt kein Minimum.

==>  f ist nicht surjektiv.

Zeigen Sie, dass keine Bijektion f : N → Z die Bedingung
f(m + n) = f(m) + f(n) fur alle m, n ∈ N
erfüllen kann.

Sei f : N → Z eine bijektive Abbildung, die die Bedingung
f(m + n) = f(m) + f(n) für alle m, n ∈ N erfüllt.

==>  Dann gibt es (wegen surjektiv) für jedes m∈N⁺ zwei

Elemente a_m, b_m ∈ N mit f(a_m)=m und f(b_m)= -m ,

also f(a_m+b_m)=f(a_m)+f(b_m)=m+(-m)=0.

Alle diese Paare ( a_m, b_m) sind voneinander verschieden (f injektiv).

Da f injektiv ist, hat 0 genau ein Urbild k∈N.

Es gibt also unendlich viele Paare ( a_m, b_m) ∈ N^2 mit

        a_m+b_m=k             Widerspruch !