Das ist die Cauchysche-Schwarzsche Ungleichung.
Ein reelles Skalarprodukt (⋅,⋅) gilt allg. (x,y)≤∥x∥∥y∥ wie man leicht aus
0≤(x−λy,x−λy)=∥x∥2−2λ(x,y)+λ2∥y∥2 mit λ=∥y∥2(x,y)
Wenn man diese Ungleichung auf das Standardskalarprodukt im Rn anwendet, folgt Deine Ungleichung aus
(α,β)2=(i=1∑nαiβi)2=(i=1∑n(αiγi)(γiβi))2≤i=1∑n(αiγi)2i=1∑n(γiβi)2