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Aufgabe:

Zeige dass

(i=1nαiβi)2( \sum\limits_{i=1}^{n}{α_iβ_i})^{2}  ≤ (i=1n(αiγi)2( \sum\limits_{i=1}^{n}({α_iγ_i})^{2} (i=1n(βiγi)2( \sum\limits_{i=1}^{n}({\frac{β_i}{γ_i}})^{2} )


Für beliebige Zahlen a1,….,a_n, β_1,..,β_n und reelle von Null verschiedenen Zahlen γ_1,…,γ_2 gilt.


Problem/Ansatz:

Die Aufgabe

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Das ist die Cauchysche-Schwarzsche Ungleichung.

Ein reelles Skalarprodukt (,) ( \cdot , \cdot )   gilt allg. (x,y)xy (x,y) \le \| x \| \| y \| wie man leicht aus

0(xλy,xλy)=x22λ(x,y)+λ2y2 0 \le (x-\lambda y , x - \lambda y) = \| x \|^2 - 2 \lambda (x,y) + \lambda^2 \| y \|^2 mit λ=(x,y)y2 \lambda = \frac{ (x,y) }{ \| y \|^2 }

Wenn man diese Ungleichung auf das Standardskalarprodukt im Rn \mathbb{R}^n anwendet, folgt Deine Ungleichung aus

(α,β)2=(i=1nαiβi)2=(i=1n(αiγi)(βiγi))2i=1n(αiγi)2i=1n(βiγi)2 ( \alpha , \beta )^2 = \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n \left( \alpha_i \gamma_i \right) \left( \frac{\beta_i}{ \gamma_i} \right) \right)^2 \le \sum_{i=1}^n \left( \alpha_i \gamma_i \right)^2 \sum_{i=1}^n \left( \frac{\beta_i} {\gamma_i} \right)^2

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