Zeige dass die Ungleichung gilt

Question

Aufgabe:

Zeige dass

\(( \sum\limits_{i=1}^{n}{α_iβ_i})^{2} \) ≤ \(( \sum\limits_{i=1}^{n}({α_iγ_i})^{2} \))·\(( \sum\limits_{i=1}^{n}({\frac{β_i}{γ_i}})^{2} \))

Für beliebige Zahlen a₁,….,a_n, β_1,..,β_n und reelle von Null verschiedenen Zahlen γ_1,…,γ_2 gilt.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe

Answer 1

Das ist die Cauchysche-Schwarzsche Ungleichung.

Ein reelles Skalarprodukt \( ( \cdot , \cdot ) \)  gilt allg. $$ (x,y) \le \| x \| \| y \| $$ wie man leicht aus

$$ 0 \le (x-\lambda y , x - \lambda y) = \| x \|^2 - 2 \lambda (x,y) + \lambda^2 \| y \|^2 $$ mit \( \lambda = \frac{ (x,y) }{ \| y \|^2 } \)

Wenn man diese Ungleichung auf das Standardskalarprodukt im \( \mathbb{R}^n \) anwendet, folgt Deine Ungleichung aus

$$ ( \alpha , \beta )^2 = \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n \left( \alpha_i \gamma_i \right) \left( \frac{\beta_i}{ \gamma_i} \right) \right)^2 \le \sum_{i=1}^n \left( \alpha_i \gamma_i \right)^2 \sum_{i=1}^n \left( \frac{\beta_i} {\gamma_i} \right)^2  $$