Bestimmen sie die kritischen Punkte von f im Inneren von K und zeigen Sie, dass es sich dabei nicht um lokale …

Question

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe versucht zu rechnen. Würde gerne wissen, ob das richtig oder falsch ist und ob mir etwas fehlt bzw etwas nicht beachtet habe.

Die Aufgabe lautet :

Sei K ⊂ R3 gegeben durch
K:= {(x,y,z)∈R |  x² +4y² +2z⁶ ≤ 6}  Außerdem definieren wir f(x, y, z) = xyz³.
a) Bestimmen sie die kritischen Punkte von f im Inneren von K und zeigen Sie, dass es sich dabei nicht um lokale Extrema handelt.
b) Zeigen Sie, dass f Maximum und Minimum annimmt und bestimmen Sie diese.

Meine Idee zu a) : Den Gradienten bilden also ∇f(x,y,z) =\( \begin{pmatrix} yz^3\\xz^3\\3xyz^2 \end{pmatrix} \)

Dies habe ich gleich den Nullvektor gesetzt und herausgefunden, dass x=y=z=0 ist obwohl ich mir bei z nicht so sicher bin.

das wären dann meine kritischen Punkte oder?

und anschließend habe ich dann die 2.Ableitung gebildet also ∇2f(x,y,z) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\6xy \end{pmatrix} \)

und die kritischen Punkte ein gesetzt und bekommen den Nullvektor raus, was heißt, dass es. sich nicht um ein lokales Extrema handelt?

Aber b) habe ich Kleider nicht gemacht, da ich nicht verstanden habe, weil ich ja bei a herausgefunden habe, dass es sich nicht um lokales Extremum handelt. Oder müsste ich da mit der Menge K arbeiten ?

Danke im Voraus

Gruß

Comments

Hallo,

wäre nicht jeder Punkt (x,y,0) kritischer Punkt, und auch jeder Punkt(0,0,z)?

Was Du da mit der "2. Ableitung" meinst / machst, kann ich nicht nachvollziehen. Vielleicht informierst Du Dich mal zum Begriff "Hesse-Matrix".

Die stetige Funktion f nimmt auf der kompakten Menge K ein Maximum und ein Minimum an. Wenn a) stimmt, liegt dies nicht im Innere, also muss es auf dem Rand liegen. Um die Extrema auf dem Rand zu bestimmen, kannst Du eventuell die Methode von Lagrange verwenden.

Gruß Mathhilf