Aufgabe:
Mitte der Achtzigerjahre investierte ein damals angeschlagener Hersteller für Föne in die Nische der kleineren Reiseföne. Das damalige Risiko brachte den Erfolg mit sich, dass der Hersteller in dieser Sparte zurzeit eine annähernd monopolistische Marktsituation vorfindet. Der Erfolg ist aber auch sicherlich damit begründet, dass die Stückzahlen pro Serie stark begrenzt sind, sodass die Produkte einen reißenden Absatz finden.
Für eine neue Serie sind maximal 30 Mengeneinheiten (1 ME = 100 Stück) vorgesehen, die einen Erlös von E mit E(x) = (30x–x²)e0,01x erwarten lassen. Die Kostensituation für die Herstellung der neuen Serie lässt sich durch die Funktion K mit K(x) = x²e0,05x +50 darstellen.
a) Bestimmen Sie den ökonomischen Definitionsbereich. Zeigen Sie, dass der Graph der Kostenfunktion K monoton steigend und linksgekrümmt ist. Bestimmen Sie die Stückkostenfunktion k und das Betriebsoptimum. Erläutern Sie, ob Ihr Ergebnis für das Unternehmen von großer Bedeutung ist.
b) Berechnen Sie das Erlösmaximum algebraisch und zeigen Sie, dass die Grenzerlöse fallend sind. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung E(x) = K(x) und interpretieren Sie sie ökonomisch. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G und ermitteln Sie die Ausbringungsmenge, bei der der Gewinn maximal ist.
c) Nach einer in Auftrag gegebenen Studie ermittelt das Unternehmen Daten für eine neue Gewinnfunktion der Art G(x) = ax³ + bx2 + cx + d; a±0. Die neu ermittelten Fixkosten betragen 34,5 GE, die zusammen mit den variablen Kosten erst ab einer Absatzmenge von 3 ME gedeckt werden können. Das Gewinnmaximum in Höhe von 120 GE erreicht das Unternehmen bei einer Absatzmenge von 15 GE. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion.
d) Folgend sei der Gewinn durch die Funktion G mit G(x) = -0,05x³ + 0,8x² + 9,6x - 34,5 angenähert. Bestimmen Sie sowohl die Gewinnschwelle als auch die Gewinngrenze und runden Sie dabei Ihre Ergebnisse auf ganze Zahlen. Berechnen Sie das Flächenstück, welches durch den Graphen der Gewinnfunktion und die x-Achse im 1. Quadranten eingeschlossen wird. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis ökonomisch.
Problem/Ansatz:
wie löst man diese aufgaben?
