Aloha :)
Beim Ableiten von \(x^n\) holst du zuerst den Exponenten \(n\) nach vorne und verminderst ihn anschließend um eins:\(x^n\to n\cdot x^{n-1}\)
Beim Integrieren musst du das in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen, also zuerst den Exponenten um eins erhöhen und anschließend durch den neuen Exponenten dividieren:\(x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
Das auf die Funktion angewendet sieht nun so aus:$$f(x)=4x^3-3x^2+8x-6\quad\implies\quad F(x)=4\,\frac{x^4}{4}-3\,\frac{x^3}{3}+8\,\frac{x^2}{2}-6\,\frac{x^1}{1}+\text{const}$$Wichtig ist, dass du am Ende an die Stammfunktion noch eine Konstante anhängst. Da die Ableitung einer konstanten Zahl \(0\) ist, können wir allein aus der Ableitung nicht mehr rekonstruieren, welche Konstante die ursprüngliche Funktion (vor ihrer Ableitung) hatte. Daher gibt es zu einer Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich alle durch eine konstante Zahl unterscheiden.
Wir fassen die Terme zusammen und erhalten:$$F(x)=x^4-x^3+4x^2-6x+\text{const}$$
Wir kennen den Funktionswert \(F(8)=-968\), sodass wir die Konstante bestimmen können:$$-968=F(8)=3792-\text{const}\quad\implies\quad\text{const}=-4760$$
Damit haben wir \(F(x)\) fertig gebaut.$$F(x)=x^4-x^3+4x^2-6x-4760$$und es ist \(F(14)=31\,612\)
