Zu Beweisen: 10007 × 30003 ≡ 1 modulo 10

Question

Hallo, liebe Mitglieder :)

es geht um einen Beweis einer Multiplikation.

Die Aufgabenstellung lautet:

Beweisen ohne zu multiplizieren: 10007 × 30003 ≡ 1 modulo 10.

Man kann sich relativ schnell überlegen, dass die letzten Ziffern 3 und 7 multipliziert immer mit einer 1 enden (zB 3 × 7 = 21) und das verhält sich kongruent zu 1. Also beides mod 10 = 1.

Aber es müsste doch sicher noch etwas mathematischer zu schreiben sein, ich dachte an "a × b ≡ 1 mod n" und daraus folgt "n|(ab)" ...

Aber komme da nicht drauf.

Vielen Dank für eure Hilfe und einen schönen Abend!

Comments

Problem: "3 × 7 = 21" ist auch eine Multiplikation.

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Gut das stimmt natürlich, ich ging jetzt davon aus, diese sei trivial, dies anhand 3x7 zu sehen :)

Dann sollte es wohl schon formaler sein.

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Problem: "3 × 7 = 21" ist auch eine Multiplikation.

Dann rechne doch 7 + 7 + 7  oder ganz einfach   10007 + 10007 + 10007 + ... + 10007

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Formaler vielleicht so: Mit x = 1000 und y = 3000 gilt
10007·30003 = (10x + 7)·(10y + 3) = 10·(10xy + 3x + 7y) + 21 ≡ 1 mod 10.

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Vielen Dank für die unterschiedlichen Varianten, ich finde sie alle sehr interessant! Ich denke, dass ist eine gute Lösung!

Answer 1

"Formaler":

\(10007\cdot 30003\equiv 7\cdot 3=21\equiv 1\) mod \(10\).

Comments

$$10007\cdot 30003\equiv 7\cdot 3=7+7+7=21\equiv 1 \mod 10$$

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Auch hier vielen Dank für den Ansatz @ermanus, der gefällt mir mit am besten!