a) Sei G eine Gruppe mit zwei Elementen, etwa G = {e, a} mit neutralem Element e.. Wie kann die Verknüpfung drauf aussehen?
\( \begin{array}{c|cc} * & e & a \\\hline e & e & a \\ a & a & ? \end{array} \)
e*e = e, e*a = a*e = a muss wegen der Eigenschaft des neutralen Elements gelten. Fehlt a*a. In Gruppen hat jedes Element ein Inverses, für a bleibt aber nur noch a selbst als Inverses, deshalb a*a = e
\( \begin{array}{c|cc} * & e & a \\\hline e & e & a \\ a & a & e \end{array} \)
Wenn du jetzt eine weitere Gruppe mit zwei Elementen hast G' = {e', a'}, neturales Element e'. Gilt auch hier
\( \begin{array}{c|cc} \odot & e' & a' \\\hline e' & e' & a' \\ a' & a' & e' \end{array} \).
Das ist identisch bis auf Umbenennung. Und genau das macht der Isom:
$$ G \to G',~~~ \begin{matrix} e \mapsto e' \\ a \mapsto a' \end{matrix} $$
Bis auf Isomorphie gibt es somit nur eine Gruppe mit 2 Elementen. Das geht übrigens auch mit 1 und 3 elementigen Gruppen.
Wann immer du also zwei Gruppen mit jew. 1,2,3 Elementen hast, sind diese immer isomorph. (Das kann man auf alle Primzahlen erweitern)
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b) Sind die Isomorphismen \( \phi_1 : G_1 \to H_1\), \( \phi_2 : G_2 \to H_2 \), dann sollte man mal
\( (\phi_1\times \phi_2) : (G_1 \times G_2) \to (H_1 \times H_2), ~~ (g_1, g_2) \mapsto (\phi_1(g_1),\phi_2(g_2)) \)
Betrachten. Das ist offensichtlich wohldefiniert. Jetzt nachrechnen das diese Abbildung ein bijektiver Homomorphismus ist. Dabei verwenden, dass \( \phi_1, \phi_2 \) bijektive Homomorphismen sind.
