ist (X, +, ·) zu (X, ⊕,⨀) isomorph?

Question

Aufgabe:

Es sei (X, +, ·) ein Ring mit Einselement 1. In X werden durch
⊕ : X × X → X : (x, y) ⟼ x ⊕ y := x + y + 1,    ⨀: X × X → X : (x,y) ⟼ x⨀ y := xy + x + y
neue Operationen eingeführt. Zeigen Sie, dass (X, +, ·) zu (X, ⊕, ⨀) isomorph ist.
Hinweis: Zwei Ringe (X, +, ·) und (X, ⊕, ⨀) sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung
f : X → X gibt, für die gilt
∀x, y ∈ X : f(x + y) = f(x) ⊕ f(y),    f(x · y) = f(x)⨀f(y).

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie, dass (X, +, ·) zu (X, ⊕,⨀ ) isomorph ist.

Answer 1

ist (X, +, ·) zu (X, ⊕,⨀) isomorph?

Das ist nicht die Frage, die du dir stellen solltest. Stattdessen solltest du ...

Zeigen Sie, dass (X, +, ·) zu (X, ⊕, ⨀) isomorph ist.

... dich auf die Suche nach einem Isomorphismus begeben.

f(x + y) = f(x) ⊕ f(y)

Dann ist f(0) = f(0 + 0) = f(0) ⊕ f(0). Also ist f(0) neutral bezüglich ⊕.

Sei 0_⊕ neutral bezüglich ⊕. Dann ist 0_⊕ = 0_⊕ ⊕ 0_⊕ = 0_⊕ + 0_⊕ + 1, also 0_⊕ = -1.

Mit einem ähnlichen Argument findest du 1_⨀ = 0.

Das schränkt schon mal deine Suche nach einem geegineten f ein.