Zeigen Sie, dass G genau die

Question

Aufgabe:

Sei G = s + R_u ⊂ R³ eine Gerade in R³. Zeigen Sie, dass G genau die
Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
u χ x = u χ s
ist.

Problem/Ansatz:

Sei G = s + R_u ⊂ R³ eine Gerade in R³. Zeigen Sie, dass G genau die
Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
u χ x = u χ s
ist.

Comments

Eine Gerade im ℝ³ hat die Gleichung \( \vec{g} \)=\( \vec{s} \)+r·\( \vec{u} \). Die Schreibweise G = s + R_u ist mir gänzlich unbekannt

Answer 1

G = s + Ru ⊂ R³ bedeutet ja wohl G ist die Menge aller

(Orts)vektoren \( \vec{x}\) in R^3 für die gilt: Es gibt ein r∈ℝ mit

\( \vec{x} = \vec{s} + r \cdot \vec{u}\) . Und χ ist wohl das Kreuzprodukt.

Dann gilt jedenfalls (in deiner Schreibweise)

u χ x = u χ (  \(  \vec{s} + r \cdot \vec{u}\))

        = u χ s + u χ (r*u)

          = u χ s + r*(u χ u)

Und das Vektorprodukt von u mit sich ist der 0-Vektor

, also kann man fortsetzen

         =u χ s

Somit ist jeder Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden

eine Lösung der gegebenen Gleichung.

Hat man andererseits eine Lösung der Gleichung,

also ein x mit  u χ x = u χ s dann folgt

u χ x - u χ s =  0

u χ (x - s)  =  0 

Alle Vektoren, die mit u das Vektorprodukt 0-Vektor

haben, sind Vielfache von u, also gilt:

Es gibt ein r∈ℝ mit x-s = r*u

<=>    x = s+r*u , also ist x ein Ortsvektor zu

einem Punkt der Geraden.