Begründe allgemein, warum dann auch a(x_{0}+b k)+b(y_{0}-a k)=c für jedes ganzzahlige k gilt.

Question

Aufgabe:

Zur Bestimmung aller ganzzahliger Lösungen von \( a x+b y=c: \) Angenommen, wir haben (z.B. mit dem Euklidischen Algorithmus) eine ganzzahlige Lösung \( x_{0}, y_{0} \) der Gleichung \( a x+b y=c \) berechnet, d.h. es gilt \( a x_{0}+b y_{0}=c \)
(a) Begründe allgemein, warum dann auch \( a\left(x_{0}+b k\right)+b\left(y_{0}-a k\right)=c \) für jedes ganzzahlige \( k \) gilt.
Anmerkung: D.h.: Wenn eine diophantische Gleichung \( a x+b y=c \) eine Lösung besitzt, dann besitzt sie unendlich viele Lösungen und wenn man eine Lösung kennt, kann man alle weiteren leicht bestimmen.
(b) Benutze (a), um alle positiven ganzzahligen Lösungen \( x, y \) unserer Gleichung \( 2 x+5 y=100 \) zu finden.

Problem/Ansatz:

Kann jemand b lösen ich verstehe nicht ganz wie man das machen soll.

Comments

Weißt Du nicht, wie man irgendeine Lösung bestimmt (das geht mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus), oder hast Du nicht verstanden, wie man alle Lösungen bestimmt?

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Wie man das genau aufschreiben soll für mehrere Ergebnisse

Answer 1

Hallo,

zunächst bestimmen wir eine Lösung der Gleichung. Im Allgemeinen macht man das mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Hier können wir auch einfach scharf hinschauen: 2*(-2)+5*1=1; daher geht x=-200 und y=100.

Die Gleichung ist linear, also gilt der Grundsatz: Alle Lösungen bestehen aus einer Lösung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung. Diese ist eine Gleichung mit 2 Unbekannten, hat also in den reellen Zahlen beliebig viele Lösungen. Etwa: Wähle y und

$$2x+5y=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}y$$

Jetzt ist aber verlangt, dass die Lösungen ganzzahlig sind, also muss y gerade sein, um die 2 im Nenner wegzukürzen.

Insgesamt also wählt man ein ganzzahliges j und setzt y=2j und x=-5j. Zusammen ist die Lösungsmenge:

$$(-200-5j,100+2j), j \in \mathbb{Z}$$

Gruß Mathhilf