Wie berechne ich die Varianz von mehreren Zufallsvariablen?

Question

Hallo zusammen, irgendwie komme ich gerade bei der Berechnung von der Varianz bei dieser Aufgabe nur aufs falsche Ergebnis.

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X1 hat Erwartungswert E[X1]=7 und Varianz V[X1]=8.
Die Zufallsvariable X2 hat Erwartungswert E[X2]=4 und Varianz V[X2]=8.
Die Zufallsvariable X3 hat Erwartungswert E[X3]=2 und Varianz V[X3]=3.
Außerdem sei Cov[X1,X2]=0, Cov[X1,X3]=2 und Cov[X2,X3]=1.

Ermitteln Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable Z=2*X1−2*X2+X3.

Problem/Ansatz:

Mit dem Erwartungswert habe ich keine Schwierigkeiten, den zu berechnen ist ja relativ leicht:

E[Z] = 14 + -8 + 2 = 8

Bei dem V[Z] komme ich nun aber auf folgendes:

V[Z]= 2^2 * V[X1] + (-2)^2 * V[X2] + V[X3] + 2 * (2 + 0 + 1) = 73,

was nach Lösung nicht stimmt, da man hier auf 71 kommen sollte.

Kann mir jemand meinen Fehler bitte erklären/finden?

Answer 1

$$ \mathbb{E} \{ \left( Z - \mathbb{E} (Z) \right)^2 \} = 4 \cdot \mathbb{V} (X_1) + 4 \cdot \mathbb{V} (X_2) + \mathbb{V} (X_3) \\ - 8 \cdot \mathbb {Cov}(X_1,X_2) + 4 \cdot \mathbb {Cov}(X_1,X_3) - 4 \cdot \mathbb {Cov}(X_2,X_3)  = 71 $$