Zeige, dass für zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen: E [X * Y] = E [X] * E [Y] und...

Question

Zeigen Sie, dass für zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen X und Y gilt:

E [X * Y] = E [X] * E [Y]

Zeigen Sie, dass für zwei Zufallsvariablen X und Y gilt:

Var [X + Y] = Var [X] + Var [Y] + 2cov[X,Y].

Kann mir hier einer helfen?

Danke schön

Answer 1

Hi,

$$ E(X*Y)=\int_{^-\infty}^{^-\infty}\int_{^-\infty}^{^-\infty}x\cdot y\cdot  p(x,y) dx dy $$ mit ist die gemeinsame Dichte von X und Y. Da X und Y unabhängig sind, gilt \( p(x,y)=p_x(x)\cdot p_y(y) \) Daraus folgt
$$ E(X*Y)=\int_{^-\infty}^{^-\infty}\int_{^-\infty}^{^-\infty}x\cdot y\cdot  p(x,y) dx dy=$$ $$ \int_{^-\infty}^{^-\infty} x p_x(x)dx\int_{^-\infty}^{^-\infty} y  p_y(x)dy= E(X)\cdot E(Y) $$
$$ Var(X*Y)=E\left[ \left( (X+Y)-E(X+Y) \right)^2 \right]=$$
$$ E\left[ \left( ( X-E(X)) +(Y-E(Y) \right)^2\right]= $$
$$ E\left[ (X-E(X))^2+(Y-E(Y))^2+2(X-E(X))(Y-E(Y)) \right] $$
$$ E[(X-E(X))^2]+E[(Y-E(Y))^2]+2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]  $$
$$ Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) $$

Comments

Oben stand doch, dass X und Y diskret sind. Dein Beweis funktioniert aber nur für stetige X, Y.

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Das geht bei diskreten ZV genauso.

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Nur Integral durch Summe ersetzen.

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Man muss dann aber die Integrale durch Summenzeichen ersetzen.

Und es dürfte doch keine gemeinsame Dichte geben, oder? Ich kenne das so, dass man dann \(P(X=x, Y=y)\) schreibt (statt \(p(x,y)\)).

Aber sonst hast du Recht, da geht es genau so.

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Aber P ist doch die gemeinsame Dichte.

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Stimmt, hast Recht. ;-)

Ich dachte wohl, dass es nur bei stetigen Zufallsvariablen eine Dichte gibt. Ich habe aber nochmal in meinem Skript geguckt, da hieß es "diskrete Dichte".