Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen mit Nullstellen x1=-2 und x2=-4

Question

Meine Frage ist:


Die quadratische Parabel q(x) hat die Nullstellen x₁= -2 , x₂=-4 und im Scheitelpunkt 

ist der Funktionswert y₁= 2.

 

Wie kann ich die Funktionsgleichung von Parabel finden ?

Lg


 

Answer 1

Das gelingt, indem man die quadratische Funktion in der Nullstellenform aufstellt. Diese lautet allgemein:

f ( x ) = a * ( x - x₁ ) * ( x - x₂ )

wobei a der Streckfaktor ist und x₁ , x ₂ die Nullstellen sind.

Damit erhält man zunächst:

f ( x ) = a * ( x - ( - 2 ) ) * ( x - ( - 4 )  ) = a * ( x + 2 ) * ( x + 4 )

Nun muss noch der Streckfaktor a bestimmt werden.  Dazu ist es hilfreich zu wissen, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes aufgrund der Symmetrie einer Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt, sofern die Parabel zwei Nullstellen hat.
(Hat die Parabel nur eine Nullstelle, dann ist dies auch die Scheitelpunktstelle. Hat die Parabel keine Nullstelle, dann muss der Scheitelpunkt anders berechnet werden. )

Vorliegend sind zwei Nullstellen vorhanden, also ist die Scheitelpunktstelle

x_s = ( - 2 + ( - 4 ) ) / 2 = - 3

Der Funktionswert des Scheitelpunktes ist gegeben:

y_s = f ( x_s ) = 2 

Diese beiden Werte ( xs = - 3  und f ( x_s ) = 2 ) setzt man nun in die oben fett gesetzte Gleichung ein und erhält:

2 = a * ( - 3 + 2 ) * ( - 3 + 4 )

Auflösen nach a ergibt:

<=> 2 = a * ( - 1 )

<=> a = 2 / ( - 1 ) = - 2

Damit kann man nun die konkrete Funktionsgleichung aufstellen:

f ( x ) = - 2 * ( x + 2 ) * ( x + 4 )

Hier der Graph dieser Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-2*%28x%2B2%29*%28x%2B4%29+

Answer 2

Der scheitelpunkt findet sich in der Mitte der beiden Nullstellen

also bei x= -3    S( -3| 2)

Die Parabel ist nach unten geöffnet da der Y-Wert des Scheitelpunktes positiv ist  und man trotzdem zwei Nullstellen hat.

Scheitelpunktform

f(x) = a(x+3)²+2              um a zu bestimmen  (-2| 0) einsetzen

 0= a(-2+3)² +2

 0= a+2                      a= -2

f(x) = -2 (x+3)²+2       oder in Normalform

f(x) = -2x²-12x -16