Bestimme p und q bei gegebenen Nullstellen einer quadratischen Funktion: x1= 10+√13 und x2=10-√13

Question

Die quadratische Gleichung x²+px+q hat die Nullstellen x₁= + √13 +10 und x₂= - √13 +10. Bestimme p und q.

 

Ich komme nicht so recht weiter mit dieser Aufgabe. Versucht habe ich folgendes.

 

1. Faktorisierung der Nullstellen

 

(x + √13 +10) * (x - √13 +10) = x² + √13*x + 10x -√13*x -13 -10√13 +10x + 10√13 + 100

 

Dies zusammengefasst komme ich auf x²+20x+87.

 

Die Lösung für p wäre somit 20 und q = 87.

 

Irgendwie stimmt dies aber nicht.

 

Kann mir Jemand hier im Forum bitte sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin oder ob ich einen falschen Ansatz verwenden.

 

Vielen Dank für die Bemühungen. David

Answer 1

Hallo David, 

ich wäre ähnlich vorgegangen und dabei fast exakt auf das gleiche Ergebnis gekommen wie Du: 

 

x² + px + q = 0

p-q-Formel: 

x_1,2 = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Nun haben wir

x₁ = 10 + √13

x₂ = 10 - √13

Also ist 10 = -p/2 und -20 = p

Du hast Dich also im Vorzeichen von p vertan!

Und wo wir jetzt das p ermittelt haben, können wir den Wurzelausdruck auch noch bestimmen: 

√13 = √(100 - q)

13 = 100 - q

q = 87

Probe: 

f(x) = x² - 20x + 387

x_1,2 = 10 ± √(100 - 87) = 10 ± √13

Wir haben also quasi das Pferd von hinten aufgezäumt und so die Lösung gefunden :-)

 

Besten Gruß

Comments

Einfacher gehts nach Vieta.

Answer 2

f(x) = (x - n1) * (x - n2)

f(x) = (x - (√13 + 10)) * (x - (- √13 + 10))

f(x) = (x - √13 - 10) * (x + √13 - 10)

f(x) = x^2 + √13*x - 10*x - √13*x - 13 + 10√13 - 10*x - 10√13 + 100

f(x) = x^2 - 20*x + 87

p = -20 und q = 87

Du hast dich nur im Vorzeichen der 20 vertan.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Schnelle und gute Lösung.

Answer 3

Hier noch die Variante mit dem Satz von Vieta:

x₁= + √13 +10 und x₂= - √13 +10. Bestimme p und q.

x1 + x2 = 20

x1*x2 = (10+ √13)(10-√13) = 100 - 13 = 87

Nach dem Satz von Vieta ist p = -20 und q= 87.

Vgl. zum Beispiel: https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta

Answer 4

\(f(x)=x^2+px+q\)       \(x_1= \sqrt{13} +10\)     \(x_2= -\sqrt{13} +10\)

\(x^2+px+q=0\) 

\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=-q+(\frac{p}{2})^2\)

\((x+\frac{p}{2})^2=-q+(\frac{p}{2})^2  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x+\frac{p}{2}=\sqrt{-q+(\frac{p}{2})^2 }\)

\( x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{-q+(\frac{p}{2})^2 }\)

\(x_1=  10+\sqrt{13}\)⇒ 

\( 10=-\frac{p}{2}\)

\( p=\red{-}20\)

\( \sqrt{13}=\sqrt{-q+(\frac{\red{-}20}{2})^2 }\)

\( \sqrt{13}=\sqrt{-q+100 }\)

\( 13=-q+100 \)

\( q=87 \)

2.)

\( x+\frac{p}{2}=-\sqrt{-q+(\frac{p}{2})^2 }\)

\( x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{-q+(\frac{p}{2})^2 }\)

\( 10=-\frac{p}{2}\)

\(p=-20\)

\( \sqrt{13}=-\sqrt{-q+(\frac{\red{-}20}{2})^2 }\)

\( q= 87\)

Kann nicht aufgelöst werden, da  \( \sqrt{13} \) nicht negativ werden kann.

Comments

Stümper at work.

Ich möchte einmal mit Profis arbeiten...

\(f(x)=x^2+px+q\)

  \(x_1= \sqrt{13} +10\)     \(x_2= -\sqrt{13} +10\)

\(x^2+px+q=0\)

\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=-q+(\frac{p}{2})^2\)

\((x+\frac{p}{2})^2=-q+(\frac{p}{2})^2  |±\sqrt{~~}\)

\( x+\frac{p}{2}=\sqrt{-q+(\frac{p}{2})^2 }\)

\( x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{-q+(\frac{p}{2})^2 }\)

\(x_1=  10+\sqrt{13}\)⇒ \( 10=-\frac{p}{2}\)

\( p=20\)

@Moliets: Wenn du schon 11 Jahre Zeit hattest, dir eine fehlerfreie Antwort zu überlegen: Warum hast du diese 11 Jahre nicht genutzt?

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..., weil ich erst jetzt auf diese Aufgabe gestoßen bin.