Aloha :)
Die blaue Gerade wird beschrieben durch die Geradengleichung:$$f\colon \binom{x}{y}=\binom{0}{0}+\lambda\binom{4}{-1}$$Wir brauchen eine Gerade \(g\), die senkrecht dazu steht und durch den Eckpunkt \((3|1)\) des Rechtecks geht. Der Richtungsvektor \(\binom{1}{4}\) steht senkrecht auf dem Richutngsvektor \(\binom{4}{-1}\), weil deren Skalarprodukt verschwindet. Daher latuet eine mögliche Darstellung der Geraden \(g\):$$g\colon\binom{x}{y}=\binom{3}{1}+\mu\binom{1}{4}$$
Der gesuchte Projektionspunkt \(P\) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden:$$\binom{0}{0}+\lambda\binom{4}{-1}=\binom{3}{1}+\mu\binom{1}{4}\quad\implies\quad \lambda=\frac{11}{17}\;;\;\mu=-\frac{7}{17}$$Setzen wir die Lösungen ein, erhalten wir:$$P\left(\frac{44}{17}\bigg|-\frac{11}{17}\right)$$
Der Abstand zum Punkt \((3|1)\) beträgt:$$d=\sqrt{\left(3-\frac{44}{17}\right)^2+\left(1+\frac{11}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{7^2}{17^2}+\frac{28^2}{17^2}}=\frac{\sqrt{833}}{17}=\frac{7\sqrt{17}}{17}=\frac{7}{\sqrt{17}}$$
