Passende Matrix herausfinden

Question

Aufgabe:

Finde eine 3 × 3-Matrix A, sodass u, v ∈ Lös(A, 0), wobei

u = (4, 0, −1), v = (2, −2, 2) .

Wie muss ich hier am besten vorgehen?

Grüße

Answer 1

Da \(u\) und \(v\) linear unabhängig sind, suchen wir eine Matrix \(A\) mit

Rang \(\leq 1\). Eine triviale Lösung wäre \(A=0\), also die \((3\times 3)\)-Nullmatrix.

Eine nichttriviale Matrix mit Rang 1 bekommst du, indem du \(u\) und \(v\) als

Zeilenvektoren einer \((2\times 3)\)-Matrix \(B\) nimmst. Dann hat \(B\cdot x=0\)

einen Lösungsvektor \(x\neq 0\). Nun nimm ein solches \(x\) als erste Zeile

für die Matrix \(A\) und fülle diese mit zwei Nullzeilen zu einer \((3\times 3)\)-Matrix auf.