quadratische Gleichung mit Betragsfunktion lösen

Question

Betragfunktion mit quadratische gleichung lösen

|2x+4|=-(x^(2)-x-6)

Ich habs zwar selbst gelöst, aber ich weiss nicht wie ich zeigen kann das nur

x=1 ^ x=-2 die richtige lösung ist und nicht

x=7 und x= -4

Da ich ja 2 fälle gemacht habe.

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Setz die Zahlen doch einfach ein und schaue was auf beiden Seiten rauskommt?

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Gelöst bekommen habe ich es ja :)

Aber weil ich es echt seit langem nicht mehr gemacht hab, habe manches vergessen.

Mir ging es darum wie man es aufschreibt.

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ZB

|2*7+4| = 18 ≠ -36 = -(7^2-7-6). Somit ist 7 keine Lösung der Gleichung.

Genauso für -4

(auch wenn ich nciht verstehe wie du überhaupt auf diese beiden Lösungen kommst)

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Ich hatte so gerechnet

-(2x+4)= x²-x-6

Weil fallbeispiel negativ berreich.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die rechte Seite faktorisieren:$$\left|2x+4\right|=-(x^2-x-6)=-(x-3)(x+2)$$

Da die Betragsfunktion \(\ge0\) ist muss auch die rechte Seite \(\ge0\) sein. Das ist der Fall, wenn die beiden Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:$$(1)\quad x-3\ge0\;\land\;x+2\le0\implies x\ge3\;\land\;x\le-2\implies\text{kein mögliches \(x\)}$$$$(2)\quad x-3\le0\;\land\;x+2\ge0\implies x\le3\;\land\;x\ge-2\implies x\in[-2|3]$$Es sind also nur Lösungen aus \([-2|3]\) möglich. Diese suchen wir nun:

$$2x+4=-(x-3)(x+2)\quad\Longleftrightarrow\quad2(x+2)=-(x-3)(x+2)$$Hier fällt eine Lösung ab, nämlich \(x=-2\). Für \(x\ne-2\) ist weiter:$$2=-(x-3)\quad\Longleftrightarrow\quad x=1$$

Also gibt es zwei Schnittpunkte: \(\quad x=1\;\lor\;x=-2\)

~plot~ abs(2x+4) ; -(x^2-x-6) ; {-2|0} ; {1|6} ; [[-5|4|-3|7]] ~plot~

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Vielen Dank

Für die Auffrischung nochmal :)

Answer 2

1. Fall : x<-2

-2x-4 = -x^2+x+6

x^2-3x-10 =0

(x-5)(x+2)=0

x=5 v x=-2 -> keine Lösung

2. Fall: x>= -2

2x+4 = -x^2+x+6

x^2+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

x= -2 v x = 1 -> L = {-2;1}

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Vielen Dank :)

Answer 3

\( \begin{array}{l} |2 x+4|=-\left.\left(x^{2}-x-6\right)\right|^{2} \\ (2 x+4)^{2}=\left(-x^{2}+x+6\right)^{2} \\ (2 x+4)^{2}-\left(-x^{2}+x+6\right)^{2}=0 \\ {\left[(2 x+4)+\left(-x^{2}+x+6\right)\right] \cdot\left[(2 x+4)-\left(-x^{2}+x+6\right)\right]=0} \\ \left.\left[3 x-x^{2}+10\right] \cdot\left[x+x^{2}-2\right)\right]=0 \end{array} \)
1.) \( 3 x-x^{2}+10=0 \)
\( x_{1}=-2 \vee x_{2}=5 \)
2.) \( x+x^{2}-2=0 \)
\( x_{3}=-2 \vee x_{4}=1 \)
Proben, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung darstellt:
\( |2 \cdot(-2)+4|=-\left((-2)^{2}-(-2)-6\right) \rightarrow 0=0 \)
\( |2 \cdot 5+4|=-\left(5^{2}-5-6\right) \rightarrow 14 \neq-14 \)
\( |2 \cdot 1+4|=-\left(1^{2}-1-6\right) \rightarrow 6=6 \)
Lösungen sind somit: \( x=-2 \) oder \( x=1 \)

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Danke sehr :)