Bestimme die Grenzwerte der Summen: 2) limx->∞ ln(x^2)/x^2 + limx->∞ x^10/(e^2x -1)

Question

Aufgabe: Bestimme die Grenzwerte der folgenden Summen:

 

1) lim_x-->0 (x³)/ (2-2cos² (x)) + lim_x-->∞ (x²-x+5) / (200x³+1000)

2) lim_x-->∞ (ln(x2)) / (x²) + lim_x-->∞ (x¹⁰) / (e^2x -1)

3)lim_x-->∞ (1-e^x ) / (ln(1+x)) + lim_x-->∞ (5sin(x)) / (x² )

Bei den zu bestimmenden Grenzwerten hab ich überhaupt keine Ahnung.

Helft mir bitte.

Comments

helft mir bitte. ihr müsst das auch nur für ein beispiel erklären

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Bitte schreib deine Formeln nochmals hin (als Kommentar) und setze Zähler und Nenner deiner Brüche jeweils in Klammern. Sonst weiss man nicht, wie man deine Terme lesen soll.

Welche Regeln kennst du? Hospital ?

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ja hospital kenne ich so grob.

geht in ordnung:

1) lim_x-->0 (x^3)/ (2-2cos² (x)) + lim_x-->∞ (x²-x+5) / (200x³+1000)

2) lim_x-->∞ (ln(x2)) / (x²) + lim_x-->∞ (x¹⁰) / (e^2x -1)

3)lim_x-->∞ (1-e^x ) / (ln(1+x)) + lim_x-->∞ (5sin(x)) / (x² )

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1) lim_x-->0 (x³)/ (2-2cos² (x)) + lim_x-->∞ (x²-x+5) / (200x³+1000)

                              |der zweite Summand hat unten höheren Grad als oben. Daher im Grenzwert 0

= lim_x-->0 (x³)/ (2-2cos² (x)) + 0        

= lim_x-->0 (x³)/ (2-2cos² (x))     |versuch das mal mit Hospital.

2) lim_x-->∞ (ln(x^2)) / (x²) + lim_x-->∞ (x¹⁰) / (e^2x -1)

Der 2. Summand hat unten eine Exponentialfunktion und oben nur ein Polynom. Daher im Grenzwert 0.

Der erste Summand geht auch gegen 0, weil Polynomfunktionen stärker sind als der ln.

3)lim_x-->∞ (1-e^x ) / (ln(1+x)) + lim_x-->∞ (5sin(x)) / (x² )

2. Summand hat beschränkten Zähler |5xin(x)| ≤5. Da x^2 ---> unendlich: 2. Summand im Grenzwert 0.

1. Summand im Grenzwert MINUS unendlich.

Grenzwert der Summe ex. nicht, resp. ist MINUS unendlich.

Wenn ich hier geschrieben habe, dass der Nenner / Zähler stärker ist als der Zähler/Nenner, kannst du das jeweils auch mit Hospital begründen.

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Kann man immer sagen, dass der Grenzwert gleich 0 ist, wenn der Summand unten einen höheren Grad hat als oben? Oder ist das nur hier so?

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Woran sehe ich bei der 3. Aufgabe dass der Zähler im 2. Summanden beschränkt ist?

Kann ich auch die 3. Aufgabe mit Hospital begründen?

Answer 1

In meinem Kommentar (oben) fehlt nur noch

 lim_x-->0 (x³)/ (2-2cos² (x))                |Hospital

=  lim_x-->0 (3x^2)/ (-2*(-2)*cos(x)sin(x))    |Nenner Doppelwinkelformel: 2sinxcosx = sin(2x)

=  lim_x-->0 (3x^2)/ (2*sin(2x))           |Hospital

=  lim_x-->0 (6x)/ (2*(2)*cos(2x))         |x=0 einsetzbar, also: einsetzen!

= 0 / (4*1) = 0

Daher

1)  lim_x-->0 (x³)/ (2-2cos² (x))   + lim_x-->∞ (x²-x+5) / (200x³+1000) = 0+0 =0

Rest: Vgl. mein Kommentar.

Comments

3)lim_x-->∞ (1-e^x ) / (ln(1+x)) + lim_x-->∞ (5sin(x)) / (x² )

2. Summand hat beschränkten Zähler |5sin(x)| ≤5. Da x² ---> unendlich: 2. Summand im Grenzwert 0.

Woran sehe ich bei der 3. Aufgabe dass der Zähler im 2. Summanden beschränkt ist?

|sin(x)| ≤ 1

==> -5 ≤ 5 sin(x) ≤ 5

Für x gegen unendlich sind x-Werte kleiner als 1 uninteressant. 

Kann ich auch die 3. Aufgabe mit Hospital begründen?

Nein. Eine Voraussetzung um Hospital zu benutzen sollte sein dass da im Grenzwert unendlich / unendlich oder 0/0 stehen sollte. Schau mal die Voraussetzungen in eurer Vorlesung ganz genau an, da sollten auch noch Beträge dabei sein.

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Das mit den Beträgen muss ich wohl noch einmal genauer ansehen.