Die Menge aller Teilmengen von N ist abzählbar unendlich.

Question

Aufgabe:

Sei P die Menge aller endlichen Teilmengen von den natürlichen Zahlen, also:

$$P = \{ M \subset \mathbb{N} | M: ist: endlich \}$$

Zeigen Sie, dass P abzählbar unendlich ist.

Problem/Ansatz:

Was zu zeigen ist wäre:

$$|P| = | \mathbb{N} |$$

Also muss ich eine bijektive Abbildung von P nach N finden. Kann mir da jemand weiterhelfen, ich weiß um ehrlich zu sein nicht, wie ich das anstellen soll.

~Eva

Answer 1

Siehe https://www.mathelounge.de/886484/zeigen-sie-dass-m-abzahlbar-ist

Comments

Danke ersteinmal für deine schnelle Antwort.

Bei dem Lösungsweg verstehe ich aber nicht, wie man auf diese Abbildung kommt und was das jetzt mit dem Produkt der Primzahlen zu tun hat.

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die willst eine injektive Abbildung in die natürlichen Zahlen finden, dass ist die Definition von Abzählbarkeit. Primzahlen sind da sehr nützlich, da jede Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat.

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Es geht mir ja um das abzählbar unendliche und das ist definiert als:

A ist abzählbar unendlich, wenn A die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen N hat . Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen A und der Menge der natürlichen Zahlen gibt.

Warum reicht es denn dann aus eine injektive Abbildung zu finden?

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Eine Injektion in die natürlichen Zahlen ist eine Bijektion in eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, und jede unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen ist logischerweise abzählbar unendlich