Hallo,
wenn Du zeigen kannst, dass die Folge monoton steigend ist, dass heißt $$a_{n+1} \gt a_n \quad \forall n \in \mathbb N$$ und nicht größer wird als ein Grenzwert \(a_\infty\) oder beschränkt ist, dann ist damit bewiesen, dass die Folge konvergiert.
Das \(a_\infty\) berechnet sich aus$$\begin{aligned} a_\infty&= \sqrt{4 + a_\infty} \\&\implies a_{\infty}= \frac 12(1+\sqrt {17}) \approx 2,56\end{aligned}$$Die Monotonie kann man per Induktiven Beweis zeigen. Es ist \(a_2 \gt a_1\). Wir nehmen also an, dass \(a_{n+1} \gt a_n\) ist, und zeigen das nun für \(n+1\):$$\begin{aligned} a_{n+2} &\stackrel{?}\gt a_{n+1} \\ \sqrt{4+a_{n+1}} &\gt\sqrt{4+a_{n}}\\ 4+a_{n+1} &\gt4+a_{n}\\ a_{n+1} &\gt a_{n}\\ \end{aligned}$$Die Beschränktheit kann man auch über Induktion zeigen. Der Einfachheit zeige ich, dass die Folgeglieder immer kleiner als 3 bleiben. \(a_1 \lt 3\), daher nehme ich an, dass \(a_n \lt 3\) ist und zeige es für \(n+1\)$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \sqrt{4 + a_n} \\ &\lt \sqrt{4 + 3} \\ &\lt 3 \end{aligned}$$Damit ist die Konvergenz bewiesen und der Grenzwert ist \(a_\infty\) (s.o.). Das zu zeigen überlasse ich Dir.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
