Aufgabe zu Kongruenz und Grenzwert von zwei Folgen

Question

Hi, ich hoffe mir kann heute noch wer helfen, da ich diese Aufgabe nicht verstehe:/

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die untenstehenden Folgen konvergieren oder divergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:
\( \begin{aligned} a_{n} &=\frac{n^{3}+2}{2021 n^{3}+n+1} \\ a_{n} &=\sqrt{n}-\sqrt{n-1} \quad \text { Hinweis: Erweitern Sie mit } \sqrt{n}+\sqrt{n-1} \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:
Also bei der ersten habe ich als Grenzwert 1/2021 bekommen. Ich habe davor aber nicht "entschieden", dass es eine konvergente Folge ist. Ich musste es auch bisher, wenn dann die Konvergenz beweisen (mit Monotonie und Beschränktheit, habe ich das bisher gemacht ). Habe schon so lange gesucht, aber ich habe noch nie sowas gemacht.

Zu der Zweiten: Wenn man erweitert und auflöst hat man: 1 / (\( \sqrt{n} \) + \( \sqrt{n-1} \)
Wenn man hier das n gegen ∞ laufen lässt, dann geht es ja unter dem Bruch gegen + unendlich. Es wird also immer kleiner, also würde ich sagen, dass es gegen - ∞ geht. Hier weiß ich wie bei a) nicht, was man zuvor bzgl. der Kongruenz "entscheiden" muss.

Eine knappe Lösung oder äusführliche Hilfe, wäre super. Danke im Voraus.

Answer 1

Hallo

ja 1. kann man leicht lösen indem man durch n^3 kürzt. weiterer Beweis ist dann nicht gefragt, weil ab irgendwann klar ist dass 1/n^r immer gegen 0 geht.

2) richtig, der Nenner wird immer größer, aber ja nie negativ, wogegen geht denn 17n, 1/n^0,5

das weisst du  und warst nur einen Moment auf der falschen Spur!

Comments

Oh, bei b) geht es gegen 0, weil ja n immer positiv ist, oder?

Wie kann ich bei der b) vorher "entscheiden" ob es einen Grenzwert hat? Ich sehe das leider nicht am Bruch...

Answer 2

Wenn der Nenner hier immer größer wird, desto kleiner wird der Bruch, aber sein Grenzwert ist hier 0, unter 0 geht der Bruch nicht, egal wie groß n ist, und 0 trifft die Folge sowieso nicht, aber sie geht für n nach unendlich gegen 0.

Comments

Hallo

der Kommentar  zu a ist hier nicht hilfreich, die richtige Lösung hatte Leslie ja schon.

ob n gegen oo geht oder √n ist doch egal, der Nenner geht gegen oo deshalb der Bruch gegen 0, ohne den Trick ahnt man es da sich für n->oo n und n-1 ja immer weniger unterscheiden

(wenn man sehr unsicher ist setzt man als Anfänger halt man große Zahlen ein, die der TR noch kann also für n=10000 dann 1000000  und rechnet die Differenz der Wurzeln aus, wobei klar ist, dass das kein Beweis ist, aber zu einem führen kann)

Gruß lul

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Ok habe es wegelassen.

Gruß aki57

Answer 3

Hallo,

a) Der Grenzwert ist 1/2021.

b)

\(a_{n} =\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\\=\dfrac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt n +\sqrt{n-1}} \\= \dfrac{n-(n-1)}{\sqrt n +\sqrt{n-1}}\\=\dfrac{1}{     \sqrt n +\sqrt{n-1}} \)

\(a_n\) ist immer positiv und nähert ich immer mehr der Null an.

\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)

:-)