Zeigen, dass Funktion stetig ist

Question

Zeigen Sie, dass die Funktion,

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{x}, \quad x \in(0, \infty) \)

stetig ist, d. h., dass f(x0) für alle x0 in (0,∞) stetig ist, indem Sie für diese Funktion

a) die Definition, gegeben sei Intervall I ⊆ ℝ Funktion: I → ℝ und die Folgendefinition des Grenzwertes benutzen,

b) Die angegebene äquivalente ε-δ-Definition benutzen; geben
Sie dabei im Beweis ein (von x0 ∈(0,∞), ε > 0 abhängendes) δ = δ(x0,ε) > 0 explizit an.

Comments

Willst Du wissen, ob steigt (steht im Titel), oder ob stetig (steht in der Aufgabe)?

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Ob sie stetig ist.

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Danke für die Korrektur.

Answer 1

a) Sei also a∈ℝ mit 0<a.

Zu zeigen:

Für jede Folge (a_n)_n∈ℕ mit Grenzwert a gilt

Die Folge (f(a_n))_n∈ℕ hat den Grenzwert f(a).

Sei also (a_n)_n∈ℕ so eine Folge, dann gilt f(a_n)= 1/a_n

und nach dem Grenzwertsatz für Quotienten hat die Folge

der Funktionswerte den Grenzwert 1/a und das ist ja gerade f(a).

b) Sei a ∈(0,∞) und ε > 0  (Ich nehme mal a statt x_o)

Gesucht ist ein δ  > 0 mit |x-a| <  δ ==>  | f(x)-f(a)| <  ε

Also muss gelten  | 1/x - 1/a | <  ε

<=>   | (a-x)/(xa) | <  ε

Wegen x∈(0,∞) und a auch, ist der Nenner positiv, also

<=>   |a-x| /(xa) <  ε    und man kann multiplizieren

<=>   |a-x|  <  εxa  Wenn wir   δ so wählen, dass   δ<a gilt

ist die ganze   δ-Umgebung von a im Definitionsbereich ,

und es gilt x < 2a.

Dann ist also   εxa <  2a^2 * ε

und die Bedingung also erfüllt für δ  = ε * ( 2a^2 ).

Wähle also δ  = min { ε * ( 2a^2 ) ; a }   (Damit auch   δ<a gilt.)

Dann gilt |x-a| <  δ ==>   (wie oben)

| f(x)-f(a)| =  | 1/x - 1/a | =  |a-x| /(xa)

wenn man den Nenner vergrößert also

   <   |x-a| / (2a^2)  < δ /(2a^2)   = ε *( 2a^2 )  /(2a^2) = ε