Gegeben ist die Funktion f(x) = 1/6x(x - 6)^2

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f(x) = 1/6x(x - 6)^2

a)

Weisen Sie nach, dass die Gerade g(x) = 6x Tangente an den Graphen der Funktion f ist.

b)

Welche zu g parallele Gerade ist ebenfalls Tangente an den Graphen von f?

c) Jede Ursprungsgerade hat mindestens einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam.
Ermitteln Sie die genaue Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Ursprungsgerade mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von der Geradensteigung.

Problem/Ansatz:

Hey. Könnte mir da jemand vielleicht weiterhelfen? Aber bitte auch erklären Schritt für Schritt. Möchte es auch verstehen und nicht nur abschreiben! Danke im Voraus.

Comments

Steht da ein x vor der Klammer oder soll das ein Mal-Zeichen sein?

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ist ein x und vor der Klammer steht ja immer ein imaginäres malzeichen aber das x gehört zu 1/6

Answer 1

f(x)=1/6·x·(x-6)²=\( \frac{x^3}{6} \)-2x²+6x.

f '(x)=\( \frac{x^2}{2} \) - 4x+6

f '(0)=6

außerdem f(0)=0.

Also: die Gerade g(x) = 6x ist Tangente an den Graphen der Funktion f.

Answer 2

b)
Welche zu g parallele Gerade ist ebenfalls Tangente
an den Graphen von f?

Auf Deutsch : welche Parallele zu g hat ebenfalls dieselbe
die Steigung und den Berührpunkt mit f überein

f ( x ) = p ( x)
f ´( x ) = p´( x)
f ´ ( x ) = x^2 / 2 - 4x + 6
Parallele zu g
p ( x ) = 6 * x + b
p ´( x ) = 6

Parallele zu g
Berührpunkt
f ( x ) = p ( x )
1/6 * x * (x - 6)^2 = 6 * x + b

Steigung
f ´( x ) = p ´( x)
x^2 / 2 - 4x + 6 = 6

1/6 * x * (x - 6)^2 = 6 * x + b
x^2 / 2 - 4x + 6 = 6

x = 8
b = -128 / 3

p ( x ) = 6 * x - 128/3

Comments

c) Jede Ursprungsgerade hat mindestens einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam.
Ermitteln Sie die genaue Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Ursprungsgerade mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von der Geradensteigung.

Ursprungsgerade
u ( x ) = m * x
f ( x ) =1/6·x·(x-6)^2

1/6·x·(x-6)^2 = m * x

1/6·x·(x-6)^2 = m * x => x = 0
1/6 * (x-6)^2 = m
( x-6 )^2 = 6*m | Wurzel
x - 6 = ±√ ( 6 * m)

Schnittpunkt x = 0  = 1 Schnittpunkt
x = ± √ ( 6 * m) + 6
Weitere Schittpunkte
m < 0 : keine
m = 0 : x = 6
m > 0 : 2 Schnittpunkte
x = + √ ( 6 * m) + 6
x = - √ ( 6 * m) + 6