f(x) = 1/6·x·(x - 6)^2 = 1/6·x·(x^2 - 12·x + 36) = 1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x
f'(x) = 1/2·x^2 - 4·x + 6
a) Untersuchen sie die Funktion auf Nullstellen und Extrema.
f(x) = 1/6·x·(x - 6)^2 = 0 --> x = 0 und x = 6 (doppelte Nullstelle und damit auch Extremstelle)
f'(x) = 1/2·x^2 - 4·x + 6 = 0 --> x = 2 ∨ x = 6
f(2) = 16/3 = 5.333 --> HP(2 | 16/3)
f(6) = 0 --> TP(6 | 0)
b) Weisen sie nach, dass die Gerade g(x) = 6·x Tangente an den Graphen von f ist.
f(x) = g(x)
1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x = 6·x
x^3 - 12·x^2 = 0
x^2·(x - 12) = 0
Doppelte Nullstelle und damit Tangente bei x = 0
c) Welche zu g parallele Gerade ist ebenfalls Tangente an den Graphen von f?
f'(x) = 1/2·x^2 - 4·x + 6 = 6 --> x = 8 ∨ x = 0
t(x) = f'(8)·(x - 8) + f(8) = 6·x - 128/3
d) Jede Ursprungsgerade hat mindestens einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam. Ermitteln sie die genaue Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Ursprungsgeraden mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von der Geradensteigung.
1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x = a·x
1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x - a·x = 0
x·(1/6·x^2 - 2·x + (6 - a)) = 0 --> x1 = 0
1/6·x^2 - 2·x + (6 - a) = 0
x^2 - 12·x + (36 - 6·a) = 0
x = 6 ± √(6·a)
a < 0 --> einen Punkt
a = 0 ∨ a = 6 --> zwei Punkte
a > 0 ∧ a ≠ 6 --> drei Punkte