Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/6x*(x-6)².

a) Untersuchen sie die Funktion auf Nullstellen und Extrema (ERLEDIGT)

b) Weisen sie nach, dass die Gerde g(X)=6x Tangente an den Graphen von f ist.

c) Welche zu g parallele Gerade ist ebenfalls Tangente an den Graphen von f?

d) Jede Ursprungsgerade hat mindestens einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam. Ermitteln sie die genaue Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Ursprungsgeraden mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von der Geradensteigung.

Answer 1

f(x) = 1/6·x·(x - 6)^2 = 1/6·x·(x^2 - 12·x + 36) = 1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x

f'(x) = 1/2·x^2 - 4·x + 6

a) Untersuchen sie die Funktion auf Nullstellen und Extrema.

f(x) = 1/6·x·(x - 6)^2 = 0 --> x = 0 und x = 6 (doppelte Nullstelle und damit auch Extremstelle)

f'(x) = 1/2·x^2 - 4·x + 6 = 0 --> x = 2 ∨ x = 6

f(2) = 16/3 = 5.333 --> HP(2 | 16/3)

f(6) = 0 --> TP(6 | 0)

b) Weisen sie nach, dass die Gerade g(x) = 6·x Tangente an den Graphen von f ist.

f(x) = g(x)

1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x = 6·x

x^3 - 12·x^2 = 0

x^2·(x - 12) = 0

Doppelte Nullstelle und damit Tangente bei x = 0

c) Welche zu g parallele Gerade ist ebenfalls Tangente an den Graphen von f?

f'(x) = 1/2·x^2 - 4·x + 6 = 6 --> x = 8 ∨ x = 0

t(x) = f'(8)·(x - 8) + f(8) = 6·x - 128/3

d) Jede Ursprungsgerade hat mindestens einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam. Ermitteln sie die genaue Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Ursprungsgeraden mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von der Geradensteigung.

1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x = a·x

1/6·x^3 - 2·x^2 + 6·x - a·x = 0

x·(1/6·x^2 - 2·x + (6 - a)) = 0 --> x1 = 0

1/6·x^2 - 2·x + (6 - a) = 0

x^2 - 12·x + (36 - 6·a) = 0

x = 6 ± √(6·a)

a < 0 --> einen Punkt

a = 0 ∨ a = 6 --> zwei Punkte

a > 0 ∧ a ≠ 6 --> drei Punkte

Comments

WWOOOOW das ist echt MEGA nett. Vielen vielen Dank<3<3<3<3

ich hätte da allerdings doch noch Fragen, ich will das nämlich auch verstehen und nicht nur die Lösungen abschreiben:D

bei b)   wie kommt der letzte schritt zur Stande??

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Du meinst x^2 ausklammern ? Distributivgesetz anwenden. Mit dem Satz vom Nullprodukt gibt es dann die Lösungen.

Du kannst auch andere Lösungswege nehmen, wenn sie dir einfacher erscheinen.

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ne ich hätte auch x² ausgeklammert, aber dann kommt doch x=0 und X=12 raus ? wieso nimmt man dann einfach null ?

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x = 12 ist nur eine einfache Nullstelle und damit schneiden sich die Graphen dort und berühren sich nicht. Zeichne dir das eventuell mal.

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oke da war ich nur verwirrt.. ich habe einen Taschenrechner der das zeichnen kann und a kam 0 als tangere Punkt raus und 12 halt als Schnittpunkt ..

Also nimmt man selbst wenn da drei Punkte sind Immer nur den wo es nur berührt nicht ganz durchgeht ??

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Eine lineare Funktion die mit einer anderen einen Punkt gemeinsam hat und in dem Punkt die Gleiche Steigung heißt Tangente.

Der Berührpunkt als doppelte Nullstelle der Differenz der Funktionen erfüllt diese Bedingung.

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und sorry aber c checke ich auch nicht die Ableitung von der Funktion ist doch eine andere oder was hast du da gemacht ?

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Die Ableitung sollte korrekt sein. Vergleiche auch die Umformung ganz am Anfang über der Beantwortung der Fragen.

Checkst du noch die Funktionsgleichung zur Fahrradaufgabe? Die Kostenfunktion musste falsch sein so wie dort steht.

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jap habe ich gerade erledigt :) tschuldigung

ich habe da als Ableitung und die müsste richtig sein weil ich die extrema damit erfolgreich berechnet habe: f'(x)= 1/6*(x-6)²+1/6x*(2x-12)

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Ja die Funktion stimmt. Du kannst die auch nehmen. Ist nur nicht sehr sinnvoll, weil du die auch noch vereinfachen kannst,.

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oke ich verstehe die Vorgehensweise trotzdem nicht :0

wieso muss man das denn machen = 6 setzen