Aloha :)
In der Aufgabenstellung sind gleich mehrere Fehler.
1) Hinter der ersten Summe fehlen die Summanden. Da habe ich \(a_i\) ergänzt.
2) \(n\in\mathbb N_0\) macht keinen Sinn, weil die Summen beim Index \(i=1\) beginnen.
Du kannst da nichts für, weil dir die Aufgabe offenbar genau so gegeben wurde. Es wirft aber ein schlechtes Bild auf die Mathe-Leerer. Das wird irgendwie immer schlimmer statt besser. Nunja, machen wir das beste daraus.
Wir zeigen die folgende Behauptung durch vollständige Induktion über \(n\):$$\left|\sum\limits_{i=1}^na_i\right|\le\sum\limits_{i=1}^n\left|a_i\right|\quad;\quad a_i\in\mathbb R\quad;\quad n\in\mathbb N$$
Verankerung bei \(n=1\):$$\left|\sum\limits_{i=1}^na_i\right|=\left|\sum\limits_{i=1}^1a_i\right|=\left|a_1\right|=\sum\limits_{i=1}^1\left|a_i\right|\le\sum\limits_{i=1}^n\left|a_i\right|\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \(n+1\):
Für zwei beliebige reelle Zahlen \(x,y\in\mathbb R\) ist \(\pm x\le|x|\) und \(\pm y\le|y|\), daher gilt:$$x+y\le|x|+|y|\quad\text{und}\quad -(x+y)=(-x)+(-y)\le|x|+|y|$$Zusammengefasst heißt das:$$|x+y|=\operatorname{max}(\;(x+y),-(x+y)\;)\le|x|+|y|$$Mit dieser wichtigen Ungleichung haben wir den Induktionsschritt erledigt:
$$\left|\sum\limits_{i=1}^{n+1}a_i\right|=\left|\sum\limits_{i=1}^{n}a_i+a_{n+1}\right|\stackrel{\text{(s.o.)}}{\le}\left|\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right|+\left|a_{n+1}\right|\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{\le}\sum\limits_{i=1}^{n}\left|a_i\right|+\left|a_{n+1}\right|=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left|a_i\right|\quad\checkmark$$
