Skalarprodukt im Standardvektorraum R2

Question

Aufgabe: Hallo, ich soll bei dieser Aufgabe beweisen/widerlegen, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Kann mir jemand helfen?

1)Auf ℝ² ist durch ⟨(x₁,x₂  )^T, (y₁,y₂)^T ⟩ := (x₁ + x₂) * y1  ein Skalarprodukt definiert.


2) Auf ℝ² ist durch ⟨(x₁,x₂)^T  (y₁,y_{2 )}^T:= (x₁ + x₂) * (y₁+ y₂)  ein Skalarprodukt definiert.

3) Auf ℝ² ist durch ⟨(x₁,x₂)^T , (y₁,y₂)^T⟩ :=  x₁*y₁ - 2 * x₂* y₂ ein Skalarprodukt definiert.


4) Auf ℝ² ist durch ⟨(x₁,x₂)^T, (y₁,y₂)^T⟩ := x₁* y₁* x₂ * y₂ ein Skalarprodukt definiert.

Answer 1

Ich meine, dass die alle falsch sind; denn ein Skalarprodukt muss doch positiv definit sein.

Comments

Das war auch meine Vermutung, ich muss das allerdings Beweisen und da komme ich nicht weiter. :(

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Wähle Gegenbeispiele, etwa bei 1)

(-1;2) * (-1;2) =  1*-1 = -1 < 0

Answer 2

Hallo,

ich habe zu diesem Thema ein Video gedreht:

https://www.youtube.com/watch?v=u3axnbvx1ZI&t=23s

Schau Dir das doch mal an.

Es müssen drei Dinge erfüllt sein. Positivität, Symmetrie, Linearität

Comments

Danke, aber wie gehe ich vor, wenn ich keine Abbildung habe? Sondern nachweisen soll das ein Skalarprodukt etwas anderem entspricht?

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(4.) Gegenbeispiel (0,1)*(0.1)

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Kann das auch mathematisch bewiesen werden, also ohne Beispiele mit Zahlen oder ist das in diesen Fällen nicht möglich?

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Gegenbeispiele zu finden ist der schnellste und einfachste Weg:

(1.)  <(-1,2),(-1,2)>

(2.)  <(-1,1),(-1,1)>

(3.)  <(0,1),(0,1)>

(4.)  <(0,1),(0,1)>