Zeigen, dass fast alle Folgenglieder positiv sind

Question

b) Für die reelle Folge ( x_n)_n∈N gelte

x_n n→∞→ ξ > 0

Zeigen Sie, dass fast alle Folgenglieder x_n positiv sind. Untersuchen Sie außerdem, ob diese Aussage auch für ξ = 0 gilt.

Answer 1

Zu (b):

\(\lim x_n=\xi > 0\) bedeutet:

für jedes \(\epsilon> 0\) ist \(|x_n-\xi|<\epsilon\) für fast alle \(n\).

Dies bedeutet insbesondere für \(\epsilon=\xi/2\):

\(|x_n-\xi|\lt \xi/2\) für fast alle \(n\),

also \(\xi-\xi/2\lt x_n\lt \xi+\xi/2\) für fast alle \(n\),

also \(0\lt \xi/2\lt x_n\) für fast alle \(n\).