Wie negiert man Aussagen mit All- und Existenzquantor?

Question

Aufgabe: Negiere die Aussage:
\(\exist x \forall y , (A(x,y) \rightarrow B(x,y))\)

Problem/Ansatz:
Hallo erst einmal, ich komme alleine leider nicht weiter und selbst die Weiten des Internets scheinen mir nicht gut gesinnt, aus diesem Grund wende ich mich nun an dieses Forum, bzw. euch... dies ist eine Aufgabe eines wöchentlichen Übungsblattes für Diskrete Mathematik.

Im Wortlaut sollte dies ja bedeuten:
Es existiert mindestens ein x für alle y, für welches A(x,y) wahr ist, woraus folgt, dass B(x,y) wahr ist.

Ich habe selbst nach dem Lesen verschiedenster PDFs, und es gibt verdammt viele PDFs über Quantoren, keine Idee wie ich diese Aussage negieren könnte, es ist auch die einzige Aufgabe dieser Art auf dem Blatt und leider haben wir kein Skriptum sondern nur die Aufzeichnungen des Gekritzels unseres Professors, doch auch dort finde ich nichts. Genauso wenig fand ich eine Art formalen Online-Logik-Rechner, wenn jemand einen kennt, wäre ich für den Link sehr dankbar.

Mein Problem...
Ich weiß, dass wenn A(x) eine Aussage ist, gilt:
\(\neg ( \forall x : A(x)) <=> \exist x : \neg A(x) \\ \neg ( \exist x : A(x)) <=> \forall x: \neg A(x)\)

doch wie verbinde ich das mit der Wahrheitstabelle?
Und, wie beziehe ich das auf die zwei Variablen, oder ist das egal?

Vielen Dank für eure Zeit und Hilfe.

Answer 1

\(   \neg (     \exist x \forall y , A(x,y) \rightarrow B(x,y)   )    \)

\( =   \forall x \neg (   \forall y , (  \neg A(x,y) \lor B(x,y) ) )    \)

\( =  \forall x     \exist y , \neg (  \neg A(x,y) \lor B(x,y) )    \)

\( =  \forall x     \exist y ,  (  A(x,y) \land \neg B(x,y) )    \)

Für alle x gibt es ein y, so dass A(x,y)  aber nicht B(x,y) gelten.

Comments

Ok... also wenn ich das richtig verstehe, suche ich in der Wahrheitstabelle der Implikation, nach der falschen Aussage ( denn A und B sind gegeben wahr), drehe die Quantoren und ersetze die Implikation durch: wenn A wahr und B falsch, dann A -> B = falsch ?

Implikation:
\(w \wedge w = w \\ \mathbf{w \wedge f = f} \\ f \wedge w = w \\ f \wedge f = w \\ \)