Ist eine obere Dreiecksmatrix invertierbar?

Question

Frage:

Ist eine obere Dreiecksmatrix invertierbar? Wenn ja, wie zeige ich das?

Answer 1

Sei \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n, n} \) eine obere Dreiecksmatrix. Dann gilt
\(\begin{aligned} \operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0 \Longleftrightarrow \operatorname{det}(\mathbf{A})=\prod \limits_{i=1}^{n}(\mathbf{A})_{i, i} \neq 0\end{aligned} \)
Eine (quadratische) obere Dreiecksmatrix ist also genau dann invertierbar, wenn ihre Diagonalelemente alle nicht Null sind.