Basistransformation Matrix Lineare Algebra

Question

Hallo,

ich schreibe am Samstag eine Lineare Algebra Klausur und bin grad dabei dafür zu lernen. Jetzt möchte ich diese Aufgabe bearbeiten weiß jedoch überhaupt nicht wie die geht.

Text erkannt:

Gegeben seien die Polynomfunktionen
\( \begin{array}{c} g_{1}(x)=x\left(x^{2}+1\right), \quad g_{2}(x)=x^{2}-1, \quad g_{3}(x)=7, \quad g_{4}(x)=x\left(x^{2}-5 x-1\right) \\ h_{1}(x)=x^{2}, \quad h_{2}(x)=3 x^{2}+3 x+3, \quad h_{3}(x)=9 \end{array} \)
Dann ist \( \mathcal{A}=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}\right) \) eine Basis des Vektorraums der (höchstens) kubischen Polynomfunktionen
\( \mathcal{P}_{3}=\left\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x)=\sum \limits_{i=0}^{3} a_{i} x^{i}, a_{i} \in \mathbb{R}\right\} \)
und \( \mathcal{B} \) eine Basis des Vektorraums der quadratischen Polynomfunktionen \( \mathcal{P}_{2} \) (siehe Tutorium 5, A1 oder Vorlesung). Sei
\( f: \mathcal{P}_{3} \longrightarrow \mathcal{P}_{2}, \quad \sum \limits_{i=0}^{3} a_{i} x^{i} \longmapsto \sum \limits_{i=1}^{3} i a_{i} x^{i-1} \)
Weiter seien \( \mathcal{S}_{2}=\left(1, x, x^{2}\right) \) bzw. \( \mathcal{S}_{3}=\left(1, x, x^{2}, x^{3}\right) \) die Standardbasis von \( \mathcal{P}_{2} \) bzw. \( \mathcal{P}_{3} \). Bestimmen Sie \( M_{\mathcal{S}_{2}}^{\mathcal{S}_{3}}(f), M_{\mathcal{S}_{2}}^{\mathcal{A}}(f), M_{\mathcal{B}}^{S_{3}} \) und \( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(f) \)

Answer 1

Aloha :)

Die Basisvektoren von \(A\) sind die \(g\)-Polynome. Diese können wir in der Standardbasis \(S_3=(1,x,x^2,x^3)\) ausdrücken, indem wir sie ausrechnen:$$g_1(x)=x+x^3=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$$$g_2(x)=-1+x^2=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$$$g_3(x)=7=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$g_4(x)=-x-5x^2+x^3=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\-5\\1\end{pmatrix}$$

Ebenso können wir die \(h\)-Polynome, also die Basisvektoren von \(B\) in der Standardbasis \(S_2=(1,x,x^2)\) ausdrücken:$$h_1(x)=x^2=\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$h_2(x)=3+3x+3x^2=\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$$$$h_3(x)=9=\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}9\\0\\0\end{pmatrix}$$Damit haben wir zwei Basiswechselmatrizen gefunden:$$\mathbf{id}_{S_3}^A=\left(\begin{array}{rrrr}0 & -1 & 7 & 0\\1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & -5\\1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad \mathbf{id}_{S_2}^B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 3 & 9\\0 & 3 & 0\\1 & 3 & 0\end{array}\right)$$

Die Abbildung \(f\) bildet ein Polynom 3-ter Ordnung auf seine Ableitung ab:$$\left(a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3\right)'=\left(a_1+2a_2\cdot x+3a_3\cdot x^2\right)$$ Dies können wir durch eine Abbildungsmatrix \(\mathbf M_{S_2}^{S_3}\) bzgl. der Standardbasen beschreiben:$$\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}_{\!S_3}\mapsto\begin{pmatrix}a_1\\2a_2\\3a_3\end{pmatrix}_{\!S_2}=a_0\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+a_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$$$\mathbf M_{S_2}^{S_3}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$$

Der Rest ist nun einfach nur noch rechnen:$$\mathbf M_{S_2}^{A}=\mathbf M_{S_2}^{S_3}\cdot\mathbf{id}_{S_3}^A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 2 & 0 & -10\\3 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$$$$\mathbf M_{B}^{S_3}=\mathbf{id}_{B}^{S_2}\cdot\mathbf M_{S_2}^{S_3}=\left(\mathbf{id}_{S_2}^{B}\right)^{-1}\cdot\mathbf M_{S_2}^{S_3}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 0 & -2 & 3\\[1ex]0 & 0 & \frac23 & 0\\[1ex]0 & \frac19 & -\frac29 & 0\end{array}\right)$$$$\mathbf M_{B}^{A}=\mathbf M_{B}^{S_3}\cdot\mathbf{id}_{S_3}^{A}=\left(\begin{array}{rrrr}3 & -2 & 0 & 13\\[1ex]0 & \frac23 & 0 & -\frac{10}{3}\\[1ex]\frac19 & -\frac29 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Comments

Ich versteh gerade überhaupt nicht den ersten Teil bei der man die Standardbasis mit den g Polynome multipliziert. Kannst du es vielleicht nochmal erklären?

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Kann ich das Vorgehen irgendwo nachlesen? Alles was ich im Internet find verstehe ich nicht wirklich.

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Habt ihr das denn nicht in der Vorlesung besprochen?

Hier wird das ganz gut erklärt. Das ist eine Folge von 3 kleinen Lektionen:

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Ich versteh das meiste jetzt aber nicht wieso man dort die Ableitung genommen hat.

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Die Ableitung ist die Abbildungsvorschrift. Wenn du genau in der Aufgabenstellung liest, steht dort, wie die Abbildung funktioniert:$$\sum\limits_{i=0}^3a_ix^i\mapsto\sum\limits_{i=1}^3ia_ix^{i-1}$$Vielleicht wird es klarer, wenn wir die Summen ausschreiben:$$a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3\mapsto 1\cdot a_1x^0+2a_2x^1+3a_3x^2$$Erkennst du nun, dass rechts die Ableitung der linken Seite steht?

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Achso ja Schulmathe ist bisschen bei mir eingerostet hatte schon seit langem nichts mehr mit Ableitungen zu tun. Danke

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Danach wurde dann die Standardbasis (1 0 0 0) (0 1 0 0) usw. eingesetzt?