Krümmung, Monotonie, Hoch-, Tief-, Terassen- und Wendepunkte

Question

Aufgabe: F(x)= - 1/6x^4+x^2
wie berechne ich hier die Krümmung, Monotonie, Hoch und Tiefpunkte, Terassenpunkte und Wendepunkte?

Answer 1

Hallo,

Hoch- und Tiefpunkte: Setze die 1. Ableitung = 0 und löse nach x auf. Setze deine Ergebnisse in die 2. Ableitung ein, um zu überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Monotoniekriterium:

f'(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f fällt streng monoton in I

f'(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f steigt streng monoton in I

Graphenkrümmung:

f''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I rechtsgekrümmt

f''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I linksgekrümmt

Wendepunkte:

Die erhältst du, wenn f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

Ein Terrassenpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, bei dem auch f'(x) = 0 gilt.

Gruß, Silvia

Comments

Wenn ich jetzt meine ergebnisse in die 2. ableitung einsetze wann weiß ich das es dann hoch oder tiefpunkt ist?

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wenn f''(x) kleiner null, ist es ein Hochpunkt und umgekehrt

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und umgekehrt stimmt nicht : Wenn es ein Hochpunkt ist, muss f"(x) durchaus nicht kleiner null sein.

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Also wenns größer als 0 ist ist es ein hochpunkt wenns kleiner als 0 ist ein tiefpunkt oder?

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Ich wollte damit sagen

Wenn f''(x) größer null, dann ist es ein Tiefpunkt

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Und wieso ist das so?

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Darüber habe ich mir bislang noch keine Gedanken gemacht, sondern es einfach freudig hingenommen, weil es mir die Arbeit mit der Monotonietabelle erspart hat.

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Ein einfaches Beispiel :

Wir stellen uns eine gerade Straße vor.
Irgendwann geht die Straße in eine
Kurve nach rechts über.
Hier spricht man von einer Rechtskrümmung.

Dieselben Ausdrücke rechts- oder links-
gekrümmt werden auch bei Funktionen
genutzt

Stellen wird uns jetzt die Parabel
f ( x ) = x^2 vor.
Die Funktion weist in ihrem gesamtem
Verlauf eine Linkskrümmung bezüglich
dem geradem Verlauf auf.
( Am besten einmal zeichnen )

Die 2.Ableitung ist
f ´´ ( x ) = + 2
Die Krümmung hat den Wert +2.

Merken
Linkskrümmung = positiver Wert
Rechtskrümmung = negativer Wert.

Falls ihr eine mathmatischere Begründung
haben wollt dann müßte ich / ihr einmal
im Internet nachsehen.
Dort gibt es sicherlich jede Menge
Videos zum Thema.

Answer 2

Aufgabe: F(x)= - 1/6x^4+x2
wie berechne ich hier die Krümmung, Monotonie, Hoch und Tiefpunkte, Terassenpunkte und Wendepunkte?

f ( x ) = -1/6 * x^4 + x^2
f ´( x ) = -2/3 * x^3 + 2*x
f ´´ ( x ) = -2 * x^2 + 2

Stellen mit Steigung = 0 ( waagerechte Tangente )
f´(x) = -2/3 * x^3 + 2*x = 0
x * ( -2/3 * x^2 + 2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
-2/3 * x^2 + 2 = 0
x = √3
und
x = -√ 3

Wendestelle ( Krümmung = 0 )
f ´´ ( x ) = -2 * x^2 + 2 = 0
x = 1
und
x = -1

Kann bei Bedarf morgen weitergehen,

Comments

f`( 0 ) = 2 Tiefpunkt
f ´´( √3 ) = -4 Hochpunkt
f ´´( -√3 ) = -4 Hochpunkt

Gute Nacht.