Die Spitze eines Berges liegt x km über dem Meer. Wie groß ist maximale Fernsicht?

Question

Text erkannt:

Die Spitze S eines Berges liegt x km über dem Meer. Wie groß ist theoretisch die maximale Fernsicht b von der Bergspitze S? Dabei nehmen wir die Erde als ideale Kugel mit dem Radius \( R \approx 6370 \mathrm{~km} \) an und messen b entlang der Erdoberfläche. Die atmosphärische Strahlenbrechung wird vernachlässigt. Berechne b für:
a) \( x=3,798 \mathrm{~km} \) (Großglockner)
b) \( x=4,808 \mathrm{~km} \) (Mont Blanc)
c) \( x=8,848 \mathrm{~km} \) (Mount Everest

Länge eines Kreisbogens \( b \) mit dem Zentriwinkel \( \varphi: b=\frac{r \pi \varphi}{180} \)

Comments

Hier wird das ganz gut erklärt:

https://www.youtube.com/watch?v=iK9bhyl6B_E

Answer 1

Verbinde die Bergspitze und den letzten sichtbaren Punkt

mit dem Erdmittelpunkt. Dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck

mit der Hypotenuse x+r und einer Kathete r

Der Winkel am Erdmittelpunkt ist dann ß mit

cos(ß)= r / (x+r) also bei a)  cos(ß) = 6370 / (3,798+6370)

==>  ß=1,98°

Und die Bogenlänge des Erdumfangs zu diesem Winkel ist dann

b =  ( R *pi * ß ) / 180° = 219.9 km

Answer 2

COS(α) = r/(r + x)

b = α·r = arccos(r/(x + r))·r mit α im Bogenmaß

b1 = 219.9 km
b2 = 247.4 km
b3 = 335.5 km