Dies ist nur eine möglichst undurchschaubare Darstellung von:
"Zwei Vektoren erzeugen genau dann denselben Unterraum, wenn sie
linear abhängig sind" oder
"Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn einer von ihnen
ein skalares Vielfaches des anderen ist".
Äquivalent zur zu beweisenden Aussage ist die kontrapositive Variante:
\(v_1\in \mathbb{R}v_2 \iff \exists \lambda,\mu \text{ nicht beide}=0\text{ mit } \lambda v_1+\mu v_2=0\)
"\(\Rightarrow\)":
Sei \(v_1\in \mathbb{R}v_2\) Dann bedeutet das, dass es ein \(c\in \mathbb{R}\) gibt, so dass
\(v_1=cv_2\), also \(v_1-cv_2=0\). Nimm also \(\lambda=1, \; \mu=-c\). dann gilt \(\lambda v_1+\mu v_2=0\),
wobei \(\lambda\) und \(\mu\) nicht beide =0 sind.
"\(\Leftarrow\)":
Es gebe \(\lambda,\mu\), nicht beide=0, so dass \(\lambda v_1+\mu v_2=0\) ist. Wäre \(\mu=0\),
so wäre wegen \(\lambda v_1=-\mu v_2\) auch \(\lambda =0\).
Daher haben wir \(v_1=-\frac{\lambda}{\mu} v_2\), also \(v_1\in \mathbb{R} v_2\).
