Wie erkenne ich, für welche λ, μ ∈ ℝ das folgende Vektorfeld ein Potential hat?

Question 1

Wie erkenne ich, für welche λ, μ ∈ ℝdas folgende Vektorfeld ein Potential hat?

$$F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 , \text{ } F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^2+y^3+z^2\\λxy^2+y^3z^3\\2xz+μy^4z^2 \end{pmatrix}$$

Leider stehe ich hier auf dem Schlauch. Bin für jeden Tipp dankbar!

Question 2

Aloha :)

Prüfe, ob die Rotation des Vektorfeldes verschwindet:$$\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x^2+y^3+z^2\\\lambda xy^2+y^3z^3\\2xz+\mu y^4z^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\mu y^3z^2-3y^3z^2\\2z-2z\\\lambda y^2-3y^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(4\mu-3) y^3z^2\\0\\(\lambda-3)y^2\end{pmatrix}$$

Für $\mu=\frac34$ und $\lambda=3$ existiert ein Potential, und nur für diese Werte.

Question 3

Vielen Dank! Jetzt habe ich es verstanden :)

Tschakabumba · Answer 1 · 2022-07-07T15:16:10+0000

Aloha :)

Prüfe, ob die Rotation des Vektorfeldes verschwindet:$$\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x^2+y^3+z^2\\\lambda xy^2+y^3z^3\\2xz+\mu y^4z^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\mu y^3z^2-3y^3z^2\\2z-2z\\\lambda y^2-3y^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(4\mu-3) y^3z^2\\0\\(\lambda-3)y^2\end{pmatrix}$$

Für $\mu=\frac34$ und $\lambda=3$ existiert ein Potential, und nur für diese Werte.

Wie erkenne ich, für welche λ, μ ∈ ℝ das folgende Vektorfeld ein Potential hat?

1 Antwort

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