Bestimme die Gleichung der Tangente an dem Graphen von f im Punkt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion mit f(x) = x³ − 6 .

Problem/Ansatz:

Wir bekamen eine Hausaufgabe und haben im Unterricht die Basics besprochen und eigentlich war alles einfach, aber das haben wir so nicht im Unterricht besprochen. Es ist gefühlt ein anderes Thema...

Ich brauche Hilfe. Danke im voraus.
a) Zeichne den Graphen im Bereich -4 ≤ x ≤ 3!
b) Markiere den Punkt p(1, 2│f(1, 2)) auf dem Graphen und zeichne die Tangente
an diesen Punkt!
c) Bestimme die Gleichung der Tangente an dem Graphen von f im Punkt
p(1,2│f(1,2))!
d) Bestimme den Schnittpunkt der Tangentengleichung mit der x-Achse
(Nullstelle der Tangentengleichung)!

Answer 1

Aloha :)

Die Tangente an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Hier ist \(x_0=1,2\) und$$f(x)=x^3-6\implies f(x_0)=(1,2)^3-6=-4,272$$$$f'(x)=3x^2\implies f'(x_0)=3\cdot(1,2)^2=4,32$$Damit lautet die Gleichung der gesuchten Tangente:$$t(x)=-4,272+4,32\cdot(x-1,2)$$$$t(x)=4,32\cdot x-9,456$$

Den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse finden wir so:$$0\stackrel!=t(x)=4,32\cdot x-9,456\implies x=\frac{9,456}{4,32}=2,1888\cdots\approx2,19$$

~plot~ x^3-6 ; {1,2|1,2^3-6} ; 4,32*x-9,456 ; {2,19|0} ; [[-4|3.5|-30|20]] ~plot~