Graph und Tangente im P

Question

Aufgabe: Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von t die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1|1) ist.

Gegeben: f(x)=-1/3*x^3+2*x^2-8/3*x+2

t(x)=1/3*x+2/3

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht einmal die Fragestellung und was von mir verlangt wird. Hilfe würde sehr geschätzt werden.

Answer 1

Hallo,

geh doch den umgekehrten Weg und bestimme die Gleichung der Tangente in P.

\( f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+2 x^{2}-\frac{8}{3} x+2 \)
\( f^{\prime}(x)=-x^{2}+4 x-\frac{8}{3} \)

Tangentenformel:

\( y=\left(x-x_{0}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)

\( x_{0}=1 \)
\( f\left(1\right)=1 \)
\( f^{\prime}(1)=\frac{1}{3} \)

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

deinen Weg finde ich etwas zu aufwendig.

Einfacher ist es meiner Meinung nach, die Funktionswerte und Ableitungswerte für x=1 zu untersuchen.

:-)

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Hey Monty,

wie meinst du das? Mit f(1) und f'(1) aus der Formel muss doch genau das gemacht werden.

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Die Gleichung der Tangente ist doch in der Aufgabe gegeben.

Nun fehlt nur

t(1)=⅓+⅔=1=f(1)

und

t'(1)=⅓=f'(1).

Die Tangentenformel y=... wird gar nicht gebraucht.

:-)

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Deswegen hatte ich auch geschrieben, "geh doch den umgekehrten Weg".

Nicht weil er kürzer, sondern anders, und ja, auch aufwendiger ist. ;-)

Answer 2

t(1)=1; f(1)=1 f '(x)=-x²+4x-8/3; f'(1)=1/3.

Answer 3

Hallo,

du musst nachweisen, dass die Graphen von t und f beide den Punkt P(1|1) enthalten, dass also f(1) =1 und t(1)=1 ist, und dass die Ableitungen für x=1 gleich sind, also f'(1)=t'(1)=⅓ gilt.

:-)

Answer 4

f(x)=-1/3*x^3+2*x^2-8/3*x+2

t(x)=1/3*x+2/3

-1/3*x^3+2*x^2-8/3*x+2=1/3*x+2/3|*3

-x^3+6*x^2-8*x+6=x+2

-x^3+6*x^2-9*x+4=0

P(1|1)

-1+6-9+4=0

0=0