Seien A, B ⊂ R nicht leer und nach oben beschränkt.
==> sup(A) und sup(B) sind Elemente von R, etwa sup(A) = a und sup(B) = b .
Sei nun A ⊂ B.
Nach Def. des Supremums gilt :
a ist obere Schranke von A und für alle a'<a gibt es ein x∈A mit x>a'.
==> Jedes a'<a ist keine obere Schranke für A.
==> Für alle oberen Schranken S von A gilt S≥a #
und
Da b obere Schranke für B ist gilt x≤b für alle x∈B.
Da alle für alle x∈A auch x∈B gilt (wegen A ⊂ B)
ist also b auch obere Schranke für A und damit nach #
b ≥ a.
Also folgt sup(A) ≤ sup(B).
