Aus sup ||Df(x)|| < ∞ folgt die gleichmäßige Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Sei U⊂ℝⁿ konvex, f:U->ℝ^m stetig partiell differenzierbar
Es gilt sup ||Df(x)|| < ∞

Zu zeigen ist, dass f gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

Um dies zu beweisen, muss ich ja zeigen:
∀ε>0∃δ>0: d₁(u,v) < δ => d₂(f(u),f(v)) < ε

Ich dachte mir, dass wenn ich ε = sup ||Df(x)|| * δ setze, dann folgt aus d₁ (u,v) < δ => d₂ (f(u),f(v)) < sup ||Df(x)|| * δ,
dass d₁(u,v) < δ => d₂(f(u),f(v)) < ε 
=> f ist gleichmäßig stetig

Meine Frage ist, ob dies so stimmt. Denn für mich erscheint dies ganz logisch. Jedoch kommt mir das etwas zu einfach vor.

Über ein Feedback würde ich mich sehr freuen.

Comments

"Ich dachte mir, dass wenn ich ε = sup ||Df(x)|| * δ setze ..."

Du kannst \(\epsilon\) nicht setzen, sondern du musst zeigen, dass du

zu beliebigem \(\epsilon\) ein geeignetes \(\delta\) finden kannst.