Gerade bestimmen, die echt parallel zu E ist

Question

Aufgabe:

Hallo, leider habe ich Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe:

E: 2x1+ 3x2 -x3 = 7 

Gesucht ist eine Gleichung der Geraden, die echt parallel zu E ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß bereits, dass der Richtungsvektor der geraden orthogonal zum normalen Vektor der Ebene ist. Muss man ein Vielfaches des normalen Vektors von G nehmen und welchen Punkt kann ich als stützvektor verwenden?

Und muss man anschließend das Skalarprodukt berechnen?

Comments

"Gesucht ist eine Gleichung der Geraden, die echt parallel zu E ist."

Meinst du nicht eher

"Gesucht ist die Gleichung einer Geraden, die echt parallel zu E ist."

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Da es unendlich viele solcher Geraden gibt, ist die Formulierung

Gesucht ist eine Gleichung der Geraden, die echt parallel zu E ist.

schon richtig oder meinst du nicht?

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Nein :es gibt nicht füe jede Gerade unendlich viele nichtäquivalente

Gleichungen, sondern unendlich viele verschiedene Geraden

und daher gibt es nicht die Gerade.

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Ja es ist nur eine Gerade gesucht.

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Klar ist nur eine Gerade gesucht. Und da es mehrere Geraden

gibt, die die geforderten Eigenschaften besitzen, gibt es eben

nicht die Gerade, die dies tut.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Koordinatendarstellung der Ebene$$E\colon2x_1+3x_2-x_3=7$$zunächst nach \(x_3\) umstellen$$x_3=-7+2x_1+3x_2$$um daraus eine Parameterdarstellung zu erhalten:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-7+2x_1+3x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-7\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$$

Als Richutngsvektoren der gesuchten Gerade wähle einen der beiden Richtungsvektoren der Ebene. Als Ankerpunkt dürfen wir nun alle außer \((0|0|-7)\) wählen, weil die Gerade sonst innerhalb der Ebene verlaufen würde. Wir wählen als Ankerpunkt einfach \((0|0|0)\). Damit haben wir z.B:$$g\colon\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$Es gibt unendlich viele solcher Geraden.

Answer 2

E: 2x1+ 3x2 -x3 = 7
Gesucht ist eine Gleichung der Geraden, die echt parallel zu E ist.

g: X = r·[1, 0, 2]

Als Stützvektor darfst du jeden Punkt nehmen der nicht auf der Ebene liegt.

Comments

Wieso ist der richtungsvektor dann [1,0,2]? Kann man nicht einfach den Normalenvektor von E verwenden?

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DerNormalenvektor ist sekrecht zur Ebene. Damit brauchst du einen Vektor der Senkrecht zum Normalenvektor ist und damit parallel zur Ebene.

Also mmuss das Skalarprodukt von Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene 0 sein.

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Vielen Dank!