Aloha :)
Wir formen zunächst den Nenner des Bruches etwas um:$$\phantom{=}x^2+\alpha x+\beta=\left(x^2+\alpha x+\frac{\alpha^2}{4}\right)-\frac{\alpha^2}{4}+\beta=\left(x+\frac\alpha2\right)^2+\frac{4\beta-\alpha^2}{4}$$$$=\frac{4\beta-\alpha^2}{4}\left(1+\frac{4}{4\beta-\alpha^2}\left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2\right)=\frac1c\left(1+c\left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2\right)\quad;\quad c\coloneqq\frac{4}{4\beta-\alpha^2}>0$$Weil laut Aufgabenstellung \(4\beta>\alpha^2\) gilt, ist die neu definierte Konstante \(c\) stets positiv.
Damit lautet nun das Integral:$$I=\int\limits_{-\alpha/2}^{1/2}\frac{dx}{x^2+\alpha x+\beta}=\int\limits_{-\alpha/2}^{1/2}\frac{c\,dx}{1+c\left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2}$$Wir substituieren:$$y\coloneqq \sqrt c\left(x+\frac{\alpha}{2}\right)\quad;\quad\frac{dy}{dx}=\sqrt{c}\quad;\quad y\left(-\frac\alpha2\right)=0\quad;\quad y\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt c(\alpha+1)}{2}$$und schreiben mit \(dx=\frac{dy}{\sqrt c}\) das Integral um:$$I=\sqrt c\!\!\!\!\!\int\limits_0^{\frac{\sqrt c(\alpha+1)}{2}}\frac{1}{1+y^2}\,dy=\sqrt c\left[\arctan(y)\right]_0^{\frac{\sqrt c(\alpha+1)}{2}}=\sqrt{c}\arctan\left(\frac{\sqrt c(\alpha+1)}{2}\right)$$
Schließlich setzen wir noch die Konstante \(c\) wieder ein:$$I=\frac{2}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}\arctan\left(\frac{\alpha+1}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}\right)$$
