Aloha :)
Wir rechnen Längen hier grundsätzlich in der Einheit \(1\,\mathrm{cm}\). Da in der Aufgabenstellung sowohl von Litern auch von Zentimetern die Rede ist, müssen wir beachten, dass \(1\ell=1000\,\mathrm{cm}^3\) gilt.
zu a) Die Rotation von \(y(x)=x^2+1\) geschieht um die \(y\)-Achse. Das ergibt Kreisflächen mit Radius \(x\), deren Mittelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt. Das Volumen erhalten wir durch Integration dieser Kreisflächen \(\pi\,x^2\) entlang der \(y\)-Achse. Der Boden des Glases liegt bei \(y_u=1\) (dem Minimum der Funktion \(y(x)\)). Die innere Höhe \(h\) messen wir ab dem Boden bei \(y_u=1\), sodass wir als Obergrenze \(y_o=h+1\) einsetzen. Formal ist dann das Volumen \(V\) des Glases:$$V=\int\limits_{y_u}^{y_o} \pi\,x^2\,dy=\int\limits_1^{h+1}\pi(y-1)\,dy=\left[\frac{\pi}{2}(y-1)^2\right]_1^{h+1}=\frac{\pi\,h^2}{2}$$
Daraus bestimmen wir die Höhe \(h_{1/8}\), bei der das Volumen den Wert \(V=\frac18\,\ell=125\,\mathrm{cm}^3\) hat:$$125=\frac{\pi}{2}(h_{1/8})^2\implies h_{1/8}=\sqrt{\frac{250}{\pi}}\approx8,92$$
zu b) Nehmen wir von dieser Höhe nun \(2\,\mathrm{mm}=0,2\,\mathrm{cm}\) weg beträgt das Volumen:$$V_{\text{neu}}=\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{\frac{250}{\pi}}-0,2\right)^2\approx119,46$$Pro Glas werden als \(125\,\mathrm{cm}^3-119,4578\,\mathrm{cm}^3=5,54\,\mathrm{cm}^3\) Volumen eingespart. Bei \(200\) Gläsern werden also \(1108\,\mathrm{cm^3}=1,108\,\ell\) eingespart.
