Rotationskörper Integralrechnung

Question

Hallo,

ich bräuchte einmal ein Ergebnis zur Überprüfung:

Der Graph der Funktion f, die y-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = a begrenzen eine

nach oben offene Fläche, die um die x-Achse rotiert. Dabei entsteht ein unbegrenzter Körper K.

Untersuchen Sie, ob K ein (endliches) Volumen V besitzt.

f(x) = 4/x

a=1

Mein Ergebnis:

-4pi+4pi*1/z

d.h. z verläuft gegen 0 und der Term strebt gegen unendlich

—> der Körper hat ein unendliches Volumen

Wäre das soweit richtig? Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Wenn die Fläche zwischen den Achsen und der Funktion im Intervall von 0 bis 1 schon unendlich ist wird das für diese rotierende Fläche auch nicht besser werden. Also strebt diese auch gegen unendlich.

Natürlich darfst du das auch schön über die Stammfunktion zeigen

∫ (0 bis 1) (pi·(4/x)^2) dx = lim (a → 0) (- 16·pi/1) - (- 16·pi/a) = ∞

Answer 2

Stammfunktion
s = 4 * ln(x)

wenn gegen 0 dann f(x) = ∞

Das Volumen geht auch gegen unendlich.